Demostración de una identidad de conjuntos

Question

Soy estudiante de bachillerato y estoy estudiando mi primer capítulo en plató. Estaba probando una identidad que es

$$ A \cap (B - C) = (A \cap B)- (A\cap C)$$

Pensé en probar esto demostrando que cada LHS y RHS son subconjuntos de cada uno: Primero, dejo que $x$ sea un elemento arbitrario de $A \cap (B - C)$ Es decir,

$$ x \in A \cap (B - C)$$ $$\implies x \in A \; and \; x \in (B - C)$$ $$\implies x \in A \; and \; (x \in B \; and \; x \notin C) $$ $$\implies (x \in A \ and \ x \in B) \ and \ (x \in A \ and \ x \notin C) $$ $$\implies x \in (A \cap B) \ and \ x \notin (A\cap C)$$ $$\implies x \in (A \cap B) - (A \cap C)$$ $$\implies A \cap (B - C) \subseteq (A \cap B)- (A\cap C) \quad \text{ ...........(i)}$$

Ahora, dejemos que $y$ sea un elemento arbitrario de $(A \cap B)- (A\cap C)$ . Entonces,

$$x \in (A \cap B)- (A\cap C)$$ $$x \in (A \cap B) \ and \ x \notin (A\cap C)$$ $$(x \in A \ and \ x \in B) \ and \ (x \notin A \ or \ x \notin C)$$

Después de esto, no sé cómo proceder para obtener el resultado deseado. Cuando miré la solución dada en el libro de texto, dice, proceder como el primer paso que requiere que si $x \notin (A \cap B) $ entonces $x \in A \ and \ x \notin C$ lo cual no es cierto.

Answer 1

Ya casi has llegado. Utiliza el hecho de que tienes y $(x \in A \ and \ x \in B) $ para dividirlo en dos $x\in A$ y $x\in B$ por separado. A continuación, utilice $x\in A$ junto con $(x \notin A \ or \ x \notin C)$ para concluir que $x\notin C$ .

Poner $x\in B$ junto con $x\notin C$ te consigue $x\in B-C$ , combinada con su $x\in A$ te consigue el $x\in A \cap (B-C)$ como se desee