¿Cuál es la forma correcta de refutar un enunciado matemático?

Question

Esta pregunta está motivada por mi examen parcial. En este examen había una pregunta como la siguiente:

Pregunta: Si la siguiente afirmación es verdadera, demuéstrela, de lo contrario desmiéntala.

Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son vectores en tres dimensiones, entonces $\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}$ . El $\times$ La operación aquí significa producto cruzado.

Para esta pregunta he demostrado que $\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-\mathbf{v}\times\mathbf{u}$ y por lo tanto la afirmación es falsa, pero mi profesor dedujo algunas notas y dijo que mi solución no es correcta. Dijo que para refutar la pregunta, se necesita un contraejemplo. Pero aún así creo que la he refutado porque he demostrado claramente que la afirmación dada no se sostiene.

Así que mi pregunta después de esta larga historia es, ¿cuál es la forma correcta de refutar un enunciado matemático?

Answer 1

Una solución correcta es cualquier solución que funcione. Es como decir "es correcta si es correcta", pero la cuestión es que no es necesario utilizar un contraejemplo. En la mayoría de los casos, si puedes salirte con la tuya mostrando un contraejemplo corto y sencillo a una afirmación, entonces deberías hacerlo. Opte siempre por la demostración breve y sencilla.

En cuanto al comentario de tu profesor. Si dijo que tu prueba es incorrecta porque no proporcionaste un contraejemplo, entonces no es una crítica correcta, ya que parece implicar que la única manera de dar una respuesta a esta pregunta es mediante un contraejemplo, lo cual no es el caso. Sin embargo, si afirmó que usted no demostró completamente la afirmación, entonces eso es correcto, ya que usted demostró que otra igualdad se mantiene, no que la original no lo hace.

Answer 2

Estoy de acuerdo con tu profesor. Todavía deberías argumentar que no puede ser cierto que ambas ecuaciones se mantengan simultáneamente. Esto podría no ser una $100$ % claro. Desde $u\times v=v\times u$ y $u\times v=-v\times u$ se deduce que $u\times v=v\times u=0$ . Así pues, basta con dar $u,v$ tal que $u\times v\not=0$ .

Pero normalmente un contraejemplo (lo más explícito y sencillo posible) es la forma correcta de refutar un enunciado matemático.

Answer 3

Según mi experiencia, hay tres tipos comunes de pruebas de falsedad. Estas son:

1. Encontrar un contraejemplo explícito.
2. Demostrar la existencia de un contraejemplo sin exhibirlo (¡y en algunos casos sin la más mínima posibilidad de exhibirlo!)
3. Asumir lo que se quiere refutar e inferir algo que se sabe que es falso. Esto se llama reductio ad absurdum o prueba por contradicción. Puede parecer extraño suponer una proposición (posiblemente) falsa, pero lo que realmente se está haciendo es considerar el valor de verdad de las proposiciones condicionadas a la proposición que se quiere refutar. Para ser más explícito, si sabes que "A implica B" es una afirmación verdadera y sabes que B es falsa, también sabes que A es falsa.

Answer 4

No hay una respuesta real a "¿toda refutación tiene que implicar un contraejemplo?", porque la pregunta es demasiado vaga. ¿Qué es exactamente un contraejemplo? ¿Y cuál es exactamente la diferencia entre refutar algo y demostrar algo? Tenga en cuenta que demostrar cualquier puede considerarse como una prueba de que su negación es falsa, por lo que no hay una línea dura entre las pruebas y las refutaciones.

Declaración: Hay un número finito de números primos.

La prueba de que esto es falso es simplemente la prueba de que hay infinitos números primos, que no implica ningún tipo de contraejemplo. ¿Qué aspecto tendría un contraejemplo de que hay un número finito de algo?

No hay ninguna ley matemática profunda en juego, creo que lo único que ha ocurrido es que tu profesora ha hecho una elección de palabras un poco inexacta, y en realidad sólo quería presionarte para que terminaras la prueba. De hecho, sólo porque muestres $x=-y$ no significa que no puedas tener $x=y$ . Podrías tener $x=y=0$ . Necesitas el hecho extra de que hay vectores $u, v$ tal que $u\times v\neq0$ . Es un poco puntilloso, pero sigue siendo una crítica legítima si tu trabajo es enseñar a la gente a probar cosas.