¿Por qué la suma de observables en la mecánica cuántica es conmutativa?

Question

No soy un experto en la materia. Espero que la pregunta sea adecuada para MO.

Antecedentes/Motivación

Una vez seguí un curso de mecánica cuántica dirigido a matemáticos. En lugar de las motivaciones habituales procedentes de la experimentación de principios del siglo XIX, se daba el siguiente argumento (más o menos) para demostrar que el formalismo de la MQ es en cierto sentido inevitable.

Cuando uno hace física, está interesado en medir alguna cantidad sobre un estado determinado del universo. La cantidad (digamos la velocidad de una partícula) se define experimentalmente por la herramienta utilizada para hacer la medida. Definimos tal instrumento, con una unidad de medida dada, un observable . Así que por cada estado y cada observable obtenemos un número real.

Ahora podemos definir una suma y un producto de observables. Estos se obtienen realizando las dos medidas y luego sumando o multiplicando sus valores. Del mismo modo, podemos definir la multiplicación escalar. Estas operaciones son entonces asociativas, pero no hay razón para que sean conmutativas, ya que la realización de la primera medida puede (y de hecho lo hace) cambiar el estado del universo. Por alguna razón que no puedo entender, de todos modos, la adición se supone conmutativa. Tampoco veo ninguna razón por la que la multiplicación deba distribuir sobre la adición. Ahora también podemos considerar observables con valores complejos, por linealidad.

En este punto los observables forman un $\mathbb{R}$ -de la álgebra. Introducimos una norma de la siguiente manera. La norma de un observable es el sup de los valores absolutos de las cantidades que se pueden medir. Cada instrumento tendrá una escala limitada, por lo que se trata de un número real. Por definición es una norma. Además satisface $\|A B \| \leq \|A\| \| B \|$ . Ahora podemos tomar formalmente la terminación de nuestra álgebra y obtener un álgebra de Banach.

Finalmente definimos una involución * en nuestra álgebra por conjugación compleja de observables. Esto da lugar a una álgebra de Banach *, y la tercera suposición que me resulta misteriosa es que la $C^*$ la identidad se mantiene.

Por último, podemos utilizar el teorema de Gelfand-Naimark para representar el álgebra dada como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert. Si ésta resulta ser separable, es isomorfa a $L^2(\mathbb{R}^3)$ y recuperamos el formalismo clásico de Schrodinger.

Los problemas

En este planteamiento veo tres deducciones que parecen arbitrarias: la suma es conmutativa, la multiplicación es distributiva y la $C^*$ la identidad se mantiene. ¿Existe algún tipo de argumento que pueda justificar esto? En concreto

¿Por qué la suma de observables es conmutativa, mientras que la multiplicación no lo es?

Answer 1

La introducción que has esbozado recuerda básicamente a la antigua mecánica cuántica, de todas formas en el planteamiento que has representado es la culminación y no la premisa de la construcción, y el comentario seguramente pretendía ser explicativo del origen lejano de esta elección. Ahora intento retomar la historia.

Existen básicamente dos enfoques de la mecánica cuántica matemática. El primero, muy complejo y estratificado en su desarrollo, pero simple en la premisa, fue discutido por John Von Neumann en muchos artículos después de la "Fundación de la mecánica cuántica", el segundo es básicamente concebido como una extensión del primero, y es este segundo enfoque al que te refieres: el enfoque GNS.

De todos modos ambos se derivan seguramente después de un proceso de abstracción muy lejano a los métodos de la mecánica clásica, unido a las más recientes evidencias de la física atómica y de partículas de la primera mecánica cuántica.

Al igual que en la mecánica clásica definimos funciones de observables cantidad dinámica por lo que los fundadores de la mecánica cuántica concibió es posible en la mecánica cuántica, de todos modos tenemos que aclarar en qué sentido esto es posible y la explicación no es totalmente agotado de la extensión ingenua de la teoría clásica de la medida, basado en números reales, pero la necesidad de una clara axiomática y esto fue proporcionado por John Von Neumann (y de alguna manera de Heisenberg, Dirac, y Schroedinger antes de que él formuló esta axiomática)

De todos modos, al igual que en la mecánica clásica hay una noción de repetibilidad y regularidad, también la hay en la mecánica cuántica. La verdadera diferencia está en el resultado de las medidas, determinista en la clásica, probabilístico en la mecánica cuántica. Así, los procesos de medida se conciben como deterministas en un sentido estadístico, y, por ejemplo, las energías de los componentes del oscilador armónico isotrópico suman exactamente en valor medio, pero la varianza es cero si los estados considerados son estados propios. La antigua mecánica cuántica puede fundarse en unos pocos axiomas sobre las medidas y llevó a Von Neumann, de forma natural, a operadores lineales que actúan, como un álgebra no conmutativa, sobre espacios de Hilbert.

Para conceder el principio de correspondencia, nosotros, siguiendo a los fundadores de la mecánica cuántica, necesitamos hipotetizar la existencia de observables que evolucionan intrínsecamente de forma determinista, y sólo el proceso de medida marca la diferencia, porque estas "cantidades" dinámicas con respecto a las medidas no aparecen como números reales, este punto se realizó por primera vez algún tiempo después de que se desarrollara la interpretación de Copenaghen.

Así que se asumen, después de Heisenberg (hablando de números no conmutativos) y Jordan (hablando de matrices), y Schroedinger (hablando de operadores que actúan en el espacio funcional de la probabilidad) todos estos tres puntos de vista se mostraron en un cierto marco estricto para ser equivalente, de Dirac asumiendo que son elementos algebraicos que obedecen a la relación de conmutación canónica generalizando el álgebra de Poisson.

En resumen, el punto de Dirac puede resumirse en asumir una estructura de espacio de Hilbert para los estados, y en desarrollar paso a paso una teoría de observables compatible con el espíritu de la interpretación de Copenaghen y con el principio de correspondencia.

De todos modos Von Neumann sintió la necesidad de obtener un fundamento axiomático basado en álgebras de operadores más generales, y una axiomática de la medida, unificando desde cero la teoría marco teórico, obteniendo de hecho una teoría más general respecto a los "prejuicios" teóricos de Heisenberg y Dirac. El punto de Von Neumann se basó de hecho en la teoría de la representación general en el marco geométrico de las álgebras de operadores de Banach en el espacio de Hilbert, y en particular en la teoría de la representación irreducible CCR, pero a partir de este punto la investigación de Von Neumann continuó en busca de un punto de vista intrínseco basado en la geometría de observables.

Después de tiempo y tiempo se reconoció de hecho que parte de la teoría cuántica de la medida no es otra cosa que una teoría probabilística generalizada en un álgebra de Banach y el entorno general de la construcción de Gelfand Najmark Segal reconstruye intrínsecamente los espacios de Hilbert. De todos modos, la extensión de campo de esta configuración es muy problemática y aparece una jerarquía de espacios de Hilbert. De todos modos, de este modo se cierra un círculo y se abre un nuevo bucle: en el enfoque GNS de la mecánica cuántica postulamos que los operadores viven en un álgebra abstracta, obedeciendo reglas familiares para un álgebra con una involución (la operación *). A través del teorema de Gelfand, el caso conmutativo condujo al álgebra de funciones continuas de valor complejo en un espacio de Hausdorf, al espectro del álgebra (que conducirá al conjunto numérico ordinario de coordenadas de la mecánica clásica), y más en general a una teoría espectral, que culmina en la construcción GNS, que asocia a una forma lineal dada un espacio de Hilbert y una representación para el álgebra.

De todos modos, el verdadero logro de este enfoque es la red de álgebras, que es muy general con respecto a la interpretación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica, este logro es útil en la teoría de campo relativista y conduce a resultados de muy largo alcance, primero parcialmente descubiertos por Von Neumann en algunos artículos, y después desarrollados desde Araky, Haag, Kastler. En este marco completo es posible ahora abordar en términos más precisos la cuestión del principio de descomposición de los racimos implícito en el esquema evolutivo determinista, y la cuestión del principio de repetibilidad de la mecánica clásica y cuántica, y comprender cuantitativamente algo sobre la limitación que surge del cambio de estado del universo, a este principio, que puede expresarse, por ejemplo, en términos de un cambio de representación, debido al cambio de la forma lineal que representa el estado termoquinético del "universo", sin ningún cambio en los postulados de la teoría cuántica de campos y la mecánica cuántica derivada. Esta es quizás la perspectiva de la búsqueda sobre el teorema KMS.

No estoy muy satisfecho de este currículum, de todos modos creo que puedes corregirlo e integrarlo, y espero leer y escribir algo más preciso y delimitado.

Answer 2

Desde que planteaste tu pregunta me incomoda alguna cuestión, y he releído a Von Neumann, para tranquilizarme, de todas formas en Von Neumann el problema no se resuelve de forma deductiva ni se justifica en absoluto, sólo se afirma la aditividad, como es habitual, entre operadores conmutativos (por lo que ahí se concede el principio de correspondencia) y luego se extiende la aditividad a los operadores no conmutativos.

De todas formas reflexionando sobre el uso práctico de la combinación lineal no conmutada de operadores me doy cuenta de que los argumentos de la combinación lineal son generalmente elementos de alguna Álgebra de Lie, y sus potencias, y recuerdo un punto del primer libro de Landau sobre mecánica clásica que me gusta citar:

Leyes de conservación.

"No todas las integrales de movimiento tienen un papel igualmente relevante en la mecánica. Entre ellas hay algunas cuya invariabilidad en el tiempo tiene un origen muy profundo, relacionado con propiedades fundamentales del espacio y del tiempo y que es su homogeneidad e isotropía. Estas cantidades, estos conservadores, tienen una importante propiedad general, son aditivos, es decir, su valor para un sistema compuesto por varios elementos, cuya interacción puede despreciarse, es igual a la suma de los valores para cada uno de los elementos."

Parece que Landau está mezclando dos puntos no relacionados: la isotropía y la conmutatividad. De hecho, esta no es la aditividad en la que estamos pensando. En cualquier caso, hay un punto importante: el papel de la simetría y, en matemáticas, el papel del Teorema de Stone-Neumann, y el papel del transporte paralelo, y en matemáticas el papel de la medición del espacio y el tiempo, por lo que quizás podamos volver a conectar los dos puntos planteados por Landau con la aditividad de los observables.

Generalizando, tal vez necesitemos relacionar un observable con un infinitesimal de un grupo de simetría continuo: un generador elemental del álgebra de Lie para justificar la aditividad. Sólo es una excusa.

¿Qué opinas de esto?