¿Por qué la suma de observables en la mecánica cuántica es conmutativa?

Question

No soy un experto en la materia. Espero que la pregunta sea adecuada para MO.

Antecedentes/Motivación

Una vez seguí un curso de mecánica cuántica dirigido a matemáticos. En lugar de las motivaciones habituales procedentes de la experimentación de principios del siglo XIX, se daba el siguiente argumento (más o menos) para demostrar que el formalismo de la MQ es en cierto sentido inevitable.

Cuando uno hace física, está interesado en medir alguna cantidad sobre un estado determinado del universo. La cantidad (digamos la velocidad de una partícula) se define experimentalmente por la herramienta utilizada para hacer la medida. Definimos tal instrumento, con una unidad de medida dada, un observable . Así que por cada estado y cada observable obtenemos un número real.

Ahora podemos definir una suma y un producto de observables. Estos se obtienen realizando las dos medidas y luego sumando o multiplicando sus valores. Del mismo modo, podemos definir la multiplicación escalar. Estas operaciones son entonces asociativas, pero no hay razón para que sean conmutativas, ya que la realización de la primera medida puede (y de hecho lo hace) cambiar el estado del universo. Por alguna razón que no puedo entender, de todos modos, la adición se supone conmutativa. Tampoco veo ninguna razón por la que la multiplicación deba distribuir sobre la adición. Ahora también podemos considerar observables con valores complejos, por linealidad.

En este punto los observables forman un $\mathbb{R}$ -de la álgebra. Introducimos una norma de la siguiente manera. La norma de un observable es el sup de los valores absolutos de las cantidades que se pueden medir. Cada instrumento tendrá una escala limitada, por lo que se trata de un número real. Por definición es una norma. Además satisface $\|A B \| \leq \|A\| \| B \|$ . Ahora podemos tomar formalmente la terminación de nuestra álgebra y obtener un álgebra de Banach.

Finalmente definimos una involución * en nuestra álgebra por conjugación compleja de observables. Esto da lugar a una álgebra de Banach *, y la tercera suposición que me resulta misteriosa es que la $C^*$ la identidad se mantiene.

Por último, podemos utilizar el teorema de Gelfand-Naimark para representar el álgebra dada como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert. Si ésta resulta ser separable, es isomorfa a $L^2(\mathbb{R}^3)$ y recuperamos el formalismo clásico de Schrodinger.

Los problemas

En este planteamiento veo tres deducciones que parecen arbitrarias: la suma es conmutativa, la multiplicación es distributiva y la $C^*$ la identidad se mantiene. ¿Existe algún tipo de argumento que pueda justificar esto? En concreto

¿Por qué la suma de observables es conmutativa, mientras que la multiplicación no lo es?

Answer 1

Tu descripción de la estructura del álgebra de observables no es exactamente como estoy acostumbrado a que sea. De hecho, creo que en las mejores descripciones algebraicas de la mecánica cuántica, la adición es una operación formal, más que una operación física como has descrito. La mejor referencia que conozco para este punto de vista es L.D. Faddeev y O.A. Yakubovskii, 2009, Conferencias sobre mecánica cuántica para estudiantes de matemáticas . No tengo mi copia a mano en este momento, así que describiré mi recuerdo de cómo establecieron el álgebra de observables.

Lo primero que hay que señalar es que en el mundo real no existen los estados puros. Esto no tiene nada que ver con la mecánica cuántica y sí con la incapacidad del experimentador para medir perfectamente la configuración inicial. Para que tu noción de "estado" tenga sentido físicamente, debe ser algo así como "configuración inicial repetible para un experimento". Una vez que esta es tu noción de estado, eres perfectamente capaz de ejecutar tu experimento 1000 veces, hacer tus mediciones (cada ejecución individual puede dar una respuesta diferente, pero puedes mirar la distribución), y procesarlas como quieras.

Así que realmente un observable asigna una distribución de probabilidad sobre $\mathbb R$ a cada estado. Ahora exigimos el siguiente axioma: las funciones (buenas) $\mathbb R \to \mathbb R$ actúan sobre el conjunto de observables por composición. Así, si $X: \{\text{states}\} \to \{\text{probability distributions}\}$ es un observable, también lo es $X^2$ la probabilidad de que el observable $X^2$ asigna a un intervalo $[a,b]$ es la misma que la probabilidad de que $X$ asigna al intervalo $[\sqrt a,\sqrt b]$ . En concreto, supongamos que compone su observable $X$ con una función escalonada $\Theta(x - \xi)$ , donde $\xi \in \mathbb R$ . Entonces el observable $\Theta(X-\xi)$ mide si el valor de $X$ es más que $\xi$ . Entonces puede comprobar que la distribución completa $X$ es recuperable a partir del conocimiento de todos los $\Theta(X-\xi)$ . En particular, es recuperable a partir de los valores esperados de $\Theta(X-\xi)$ en cada estado. Así que para establecer el álgebra de los observables, basta con conocer sólo los valores de las expectativas de los observables en cada estado.

Ahora deberías darte cuenta de lo siguiente. El párrafo anterior tiene sentido incluso para la mecánica clásica, y de hecho es el formalismo correcto (ya que no hay estados puros). Pero en mecánica cuántica es peor que eso. A estado definitivo es uno que da una distribución delta para cada observable. Clásicamente, creemos que un experimentador suficientemente bueno puede aproximar los estados definitivos con la precisión que se desee. Pero hay muy buenas pruebas de que esto falla en el mundo cuántico: no importa qué herramientas se utilicen, hay límites absolutos que impiden que los estados se aproximen a los estados definidos. Así que el lenguaje de las distribuciones y las expectativas es absolutamente necesario para formalizar la mecánica cuántica, mientras que en la mecánica clásica se podría decir que hay estados definidos idealizados, que los observables son funciones sobre los estados definidos y que los estados son distribuciones de probabilidad en el espacio de los estados definidos.

Por último, la cuestión es cómo asignar operaciones algebraicas a la colección de observables. Y aquí admito que no tengo una gran respuesta. Una posibilidad es simplemente convulsionar las distribuciones de probabilidad: esto da una suma conmutativa, por ejemplo. Entonces se podría definir una multiplicación asociativa conmutativa tomando los logaritmos y sumando y exponenciando, pero mi recuerdo es que esto no distribuye sobre la suma en general. F&Y definen una multiplicación conmutativa no asociativa mediante $(X,Y) = \frac12\bigl((X+Y)^2 - X^2 - Y^2\bigr)$ . Ah, sí. El problema es el siguiente: ¿se suman, multiplican, etc. las distribuciones, o los valores de las expectativas? Para la adición, sumar los valores de expectativa es lo mismo que la convolución habitual de las distribuciones y luego tomar la expectativa. Pero para la multiplicación no lo es. No recuerdo lo que hacen F&Y, pero creo que podría ser a nivel de valores de expectativa.

Answer 2

Esta historia no puede ser correcta tal y como está escrita, y estoy de acuerdo con Fabian Besnard en el porqué:

Cuando dices "Ahora podemos definir una suma y un producto de observables. Estos se obtienen realizando las dos medidas y luego sumando o multiplicando sus valores".

Esto no puede describir la habitual suma A+B y el producto AB de los operadores.

Aún más simple que lo que señaló Fabien, esta descripción, si se toma en serio, implicaría que el producto de operadores autoadjuntos sigue siendo autoadjunto, lo que por supuesto no es en absoluto cierto si no conmutan.

En realidad, no creo que una historia de este tipo pueda utilizarse para motivar el estudio de $C^{\ast}$ -porque no está nada claro cuál es el significado físico de o bien la suma o la multiplicación de los observables es. Es no de sumar o multiplicar medidas porque si dos operadores no conmutan entonces sus valores propios no se suman ni se multiplican.

Permítanme proponer una alternativa (aunque no podré terminarla): en lugar de hablar de medidas hablemos de Teorema de Noether . El teorema de Noether afirma, a grandes rasgos, que a cada $1$ -grupo de simetrías $\varphi_t$ de un sistema mecánico clásico se puede asociar un observable $A$ tal que el corchete de Poisson $\{ A, - \}$ genera $\varphi$ y que se conserva, o, lo que es lo mismo, que conmuta de Poisson con el hamiltoniano. Además, si el hamiltoniano del sistema es independiente del tiempo, aplicando el teorema de Noether a la simetría de traslación temporal se obtiene el hamiltoniano $H$ y recuperamos el hecho de que el corchete de Poisson $\{ H, - \}$ genera la evolución del tiempo. Del mismo modo, aplicando la simetría de traslación o rotación del espacio, recuperamos la conservación del momento o del momento angular, respectivamente.

Ahora podemos preguntarnos: ¿qué otros objetos matemáticos satisfacen una forma del teorema de Noether?

Como motivación considere lo siguiente: el Teorema de Skolem-Noether implica que el álgebra matricial simple $M_n(\mathbb{C})$ tiene la propiedad de que todos sus automorfismos como $\mathbb{C}$ -álgebra son interiores. Esto significa que un grupo de un parámetro $\varphi_t$ de los automorfismos debe ser un subgrupo de un parámetro de $PGL_n(\mathbb{C})$ por lo que está generada por algún elemento del álgebra de Lie $\mathfrak{pgl}_n(\mathbb{C})$ . Al elevar este elemento a $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ obtenemos que debe existir un $A \in M_n(\mathbb{C}) \cong \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ tal que

$$\varphi_t(X) = \exp(At) X \exp(-At).$$

Ahora, cualquier grupo de automorfismos de un parámetro de un álgebra de dimensión finita debe ser generado por una derivación, y la diferenciación muestra que la derivación que genera $\varphi_t$ es el conmutador $[A, -]$ . En otras palabras, el teorema de Noether es válido para $M_n(\mathbb{C})$ con el corchete de Poisson sustituido por el conmutador. Incluso podemos meter al hamiltoniano en el juego planteando que se trata de algún otro elemento $H \in M_n(\mathbb{C})$ tal que el conmutador $[H, -]$ como en el caso anterior, genera la evolución del tiempo, lo que significa que la evolución del tiempo es un grupo de automorfismos de un parámetro de $M_n(\mathbb{C})$ y entonces encontramos que si algún otro grupo de automorfismos de un parámetro preserva $H$ entonces corresponde a algún $A$ que conmuta con $H$ : $[A, H] = 0$ .

Este es, en mi opinión, un resultado extremadamente sugerente, para un estado de ánimo en el que conocemos la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica pero no sabemos nada en absoluto sobre la mecánica cuántica. Nos dice que $M_n(\mathbb{C})$ y la mecánica clásica, aunque en apariencia son muy diferentes, tienen las siguientes características en común:

• Un corchete de Lie, ya sea el conmutador o el corchete de Poisson, que actúa sobre algún espacio vectorial (¿de "observables"?).
• Una noción de grupos de automorfismos de un parámetro del espacio de observables, que pueden ser generados por el soporte de Lie en el sentido de que los soportes $[A, -]$ ou $\{ A, - \}$ producen derivaciones que se pueden exponer a automorfismos. En particular, la evolución del tiempo es en sí misma un grupo de automorfismos de un solo parámetro y el generador correspondiente es, en mecánica clásica, el hamiltoniano $H$ .
• Teorema de Noether, en la siguiente forma bipartita: todo grupo de automorfismos de un parámetro procede del soporte de Lie, y dos grupos de este tipo conmutan entre sí si el soporte correspondiente de sus generadores es cero.

En mi opinión, lo que esta línea de razonamiento sugiere es que la operación realmente significativa en los observables no es una multiplicación asociativa sino un corchete de Lie no porque tenga una interpretación directa en términos de mediciones, sino porque un soporte de Lie es el tipo de cosa que se necesita para enunciar un teorema de Noether, y en particular para convertir un observable específico $H$ llamado hamiltoniano en un grupo de automorfismos de un parámetro que describe la evolución del tiempo.

Esto sugiere una ruta potencial para responder a la pregunta del título sobre por qué la adición de observables en la mecánica cuántica debe ser conmutativa: es porque Además, en un Álgebra de Lie debe ser conmutativo (Veo que Gianmarco Bramanti también lo ha sugerido). Me gusta esta idea porque en el caso del álgebra de Lie tampoco está claro cuál es el significado "físico" de la adición: no se corresponde de forma directa con una operación en grupos de un parámetro si los generadores correspondientes no se unen a cero, que es exactamente el problema que vemos con los observables.

Entonces, ¿por qué es cierto el teorema de Skolem-Noether? La prueba es corta y elegante: $M_n(\mathbb{C})$ tiene un único módulo simple, a saber $\mathbb{C}^n$ . Por lo tanto, si $\varphi : M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$ es cualquier automorfismo, entonces tirando $\mathbb{C}^n$ volver a lo largo de $\varphi$ produce un módulo que debe ser isomorfo a $\mathbb{C}^n$ de nuevo. Si requerimos $\varphi$ para ser $\mathbb{C}$ -lineal entonces, ya que $M_n(\mathbb{C})$ es el completo álgebra de $\mathbb{C}$ -endomorfismos lineales de $\mathbb{C}^n$ este isomorfismo debe estar dado por un elemento invertible de $M_n(\mathbb{C})$ y entonces podemos comprobar que esto significa $\varphi$ debe ser conjugado por este elemento.

Esto sugiere que intentemos buscar álgebras de dimensión infinita como $M_n(\mathbb{C})$ que también tienen módulos únicos en algún sentido, que también son el álgebra completa de endomorfismos de esos módulos en algún sentido, y que tienen suficiente estructura analítica para permitirnos hablar de exponenciación de derivaciones. Necesitamos álgebras de endomorfismos específicamente para ejecutar la segunda mitad del argumento anterior.

Ahora (esta es la parte inacabada, no tengo una idea clara de cómo contar la historia a partir de aquí) podemos traer álgebras de operadores sobre espacios de Hilbert, el Teorema de Stone-Von Neumann sobre las representaciones de las relaciones de conmutación canónicas $[X, P] = i \hbar$ , Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro y el teorema de Skolem-Noether para el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert, que en conjunto también son bastante sugerentes, aunque el salto a los espacios de Hilbert y las restricciones autoadjuntas / unitarias no se han motivado (de hecho, no hemos motivado en absoluto la decisión de trabajar sobre $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{R}$ ). Este todavía no nos lleva a $C^{\ast}$ -pero, en mi opinión, esto es una característica y no un error: $C^{\ast}$ -Las álgebras sólo pueden hablar directamente de operadores acotados, ¡y los operadores de posición y momento no están acotados! Además, no hay ninguna razón para que un $C^{\ast}$ -debería satisfacer el teorema de Noether; esta línea de razonamiento nos lleva específicamente a las especiales que lo hacen, lo cual, en mi opinión, es también una característica y no un error.

Answer 3

Podemos pensar en un estado $\omega$ como un funcional sobre el álgebra de observables $\mathcal O$ que se interpreta como el valor esperado de cada observable. Teniendo esto en cuenta, es natural exigir $\omega$ sea lineal (además de otras dos propiedades habituales, la positividad y la normalización).

Así, dados dos observables $A, B \in \mathcal O$ Si vamos a tener una suma $A + B$ debe ser cierto que $\omega(A + B) = \omega(A) + \omega(B)$ para cualquier estado $\omega$ . Como esto da los valores de $A + B$ en cada estado, basta con definirlo. Dado que $B + A$ tiene los mismos valores en todos los estados, $B + A$ es el mismo observable.

Por otro lado, no hay una forma natural de decir qué $\omega(AB)$ debería serlo, ya que los estados (como los valores de las expectativas) no tienen por qué ser multiplicativos.

Entonces: la conmutatividad de los observables se reduce a la conmutatividad de $\mathbb C$ ya que las expectativas son lineales, pero nada análogo se aplica a la multiplicación.

Esto se basa en lo que he leído en F. Strocchi, Introducción a la estructura matemática de la mecánica cuántica .

Nótese que eventualmente se pueden interpretar los estados como surgidos de distribuciones de probabilidad, lo que lleva a los comentarios de Theo.

Personalmente, todavía no tengo claro por qué postulamos una multiplicación en los observables, cuando (a diferencia del caso clásico) no hay una interpretación física clara de lo que debería significar tal operación. Sin embargo, dada la estructura completa de un $C^*$ -se puede demostrar que el principio de incertidumbre (o la existencia de observables complementarios) requiere una multiplicación no conmutativa, y voilá, se tiene la mecánica cuántica.

Answer 4

Esta pregunta me preocupa desde hace mucho tiempo. Aunque no tengo una respuesta, me gustaría mencionar un enfoque que parece prometedor al principio, pero que resulta no funcionar.

En primer lugar, recordemos que en la mecánica cuántica se puede pensar en un "estado" como una forma de preparar un sistema físico. Theo Johnson-Freyd señaló en un comentario que si tienes dos estados $\rho$ y $\sigma$ se puede construir un estado que intuitivamente merece ser llamado $\tfrac{1}{2}(\rho + \sigma)$ :

Lanza una moneda justa. Si la moneda sale cara, prepara el sistema en estado $\rho$ . Si la moneda sale cruz, prepara el sistema en el estado $\sigma$ .

Este estado merece el nombre de $\tfrac{1}{2}(\rho + \sigma)$ porque si $\rho[X]$ es el valor esperado del observable $X$ para un sistema preparado en el estado $\rho$ y $\sigma[X]$ es el valor esperado de $X$ para un sistema preparado en el estado $\sigma$ el valor esperado de $X$ para un sistema preparado en el estado $\tfrac{1}{2}(\rho + \sigma)$ debe ser $\tfrac{1}{2}(\rho[X] + \sigma[X])$ por las leyes de la probabilidad clásica.

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Ahora, ¿qué ocurre si utilizamos el mismo truco para definir la suma de dos observables? Dados dos observables $X$ y $Y$ definamos $X + Y$ para ser el observable:

Lanza una moneda justa. Si la moneda sale cara, mide $X$ y duplicar el resultado. Si la moneda sale cruz, mide $Y$ y duplicar el resultado.

Las leyes de la probabilidad clásica nos dicen que si $\rho[X]$ y $\rho[Y]$ son los valores esperados de $X$ y $Y$ para un sistema preparado en el estado $\rho$ el valor esperado de $X + Y$ para un sistema preparado en el estado $\rho$ debe ser $\rho[X] + \rho[Y]$ Tal y como se esperaba.

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Aquí es donde las cosas se desvían. Dado un observable $Z$ tiene sentido definir $Z^2$ para ser el observable:

Medida $Z$ y elevar al cuadrado el resultado.

Entonces, ¿cuál es el valor esperado de $(X + Y)^2$ para un sistema preparado en el estado $\rho$ ? Las leyes de la probabilidad clásica nos dicen que es $\rho[X^2] + \rho[Y^2]$ . Sin embargo, en el formalismo de la mecánica cuántica, $X$ y $Y$ son operadores y $\rho$ es una función lineal en el espacio de operadores, por lo que

$\rho[(X + Y)^2] = \rho[X^2] + \rho[Y^2] + \rho[XY + YX]$ .

Si $\rho[XY + YX]$ es distinto de cero, esta fórmula no coincide con el valor de la expectativa de $(X + Y)^2$ que se desprende de nuestras definiciones de $X + Y$ y $Z^2$ según las leyes de la probabilidad clásica.

En la práctica, no es difícil encontrar observables $X$ y $Y$ para lo cual $\rho[XY + YX]$ puede ser distinto de cero. Por ejemplo, dejemos que $X$ y $Y$ son el espín x y el espín z de una partícula de espín 1, representados por los operadores

$X = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\\\1&0&1\\\\0&1&0\end{array}\right],\qquad Y = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\\\0&0&0\\\\0&0&-1\end{array}\right].$

Answer 5

Si he entendido bien, estás interpretando mal el significado del producto y la suma de observables.

Cuando dices "Ahora podemos definir una suma y un producto de observables. Estos se obtienen realizando las dos medidas y luego sumando o multiplicando sus valores".

Esto no puede describir la suma habitual A+B y el producto AB de los operadores. Para el producto, ni siquiera es hermitiano a menos que A y B conmuten. De acuerdo, A+B es hermitiano, pero el espectro de A+B no contiene el resultado de la suma de una medida de A seguida de una medida de B (en cualquier sentido), de nuevo a menos que A y B conmuten. Como contraejemplo, tomemos $A=\pmatrix{1& 0\cr 0&-1}$ y $B=\pmatrix{0&1\cr 1&0}$ .

Espero haber entendido bien su pregunta.