Factorización de x + y

Question

Estoy tratando de encontrar las funciones de $f(x)$ $g(y)$ tal que $$f(x)\cdot g(y) = x + y$$

Me parece que no puede encontrar una solución única a este problema. Cualquier cosa que yo intente hace de la forma $f(x,y) \cdot g(y) or f(x) \cdot g(x,y)$

Aquí está mi trabajo hasta el momento:

$$f(x)g(y) = x + y$$

$$f'(x)g(y) + f(x)g'(y)\frac{dy}{dx} = 1 +\frac{dy}{dx}$$

$$f'(x)g(y) - 1 = \frac{dy}{dx} - f(x)g'(y)\frac{dy}{dx}$$

$$f'(x)g(y) - 1 = \frac{dy}{dx} (1 - f(x)g'(y))$$

$$\frac{f'(x)g(y) - 1}{1 - f(x)g'(y)} = \frac{dy}{dx}$$

Pero desde $g(y)$ no sabe o restringido fin, no tengo idea de lo $f(x)$ sería:

Estoy considerando más de derivados y, a continuación, el uso de las sustituciones (por ejemplo: $g(y) = (x+y)/f(x))$ pero no estoy seguro de si funcionará.

Answer 1

Usted tiene que $$\tag 1 g(0)f(0)=0$$ while $$f(1)g(0)=1$$ $$f(0)g(1)=1$$ La primera de las ecuaciones dice que cualquiera de las $g(0)=0$ o $f(0)=0$, o ambos. Pero esto se contradice con las dos últimas ecuaciones.

AGREGAR Nota que lo que escribí tiene también al $x=-y$, y cuando $x=0$, $y=\alpha$ una constante, y vice-versa. De hecho, la última observación significa que su función no puede ser definida para cualquier valor de $x$ o $y$. De hecho, tenemos que para cualquier $\alpha,\beta\in\Bbb R$

$$f(0)g(\alpha)=\alpha$$ $$f(\beta)g(0)=\beta$$

Pero debido a $(1)$, la última relaciones son imposibles, por lo que no podemos definir bien $f$ o $g$ cualquier $x\in\Bbb R$.

Answer 2

Esto significaría que $\frac{a+y}{b+y}$ tendría que ser una función constante de $y$ todos los $a,b$. Pero $\frac{a+y}{b+y}=1-\frac{b-a}{b+y}$ es la única constante al $a=b$.