Si $(x+1)^6=x^6$ entonces demuestre que $x=-1/2-i\cot (\theta/2)$ donde $\theta=2k\pi/6$ , $k=0,1,2,3,4,5$

Question

¿Cómo podemos demostrar esta pregunta utilizando números complejos? Tenemos que demostrarlo usando raíces de números complejos.

Si consideramos: $\frac{(x+1)^{6}}{x^{6}} = 1$ entonces $\frac{(x+1)}{x}=(1)^\frac{1}{6} = \cos (\theta)^\frac{1}{6} + i \sin (\theta)^\frac{1}{6}$

Simplificando aún más, obtengo la respuesta: $x=\frac{-1}{2}-\frac{i\cot(\theta/2)}{2}$ .

Pero tenemos que demostrar $x=\frac{-1}{2} -i\cot (\theta/2)$ . ¿Cuál puede ser el error?

Mi ejemplo resuelto está aquí : introduzca aquí la descripción de la imagen

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $k = 0$ no da una solución, ya que $cot(0)$ es indefinido. Esto debería coincidir con la intuición de que su ecuación $$(x+1)^6 = x^6 \Longrightarrow 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 = 0$$ sólo debería tener hasta 5 raíces por el teorema fundamental del álgebra.

Por lo demás, su solución es sólida. Puedes comprobar que las raíces son $$x_1 = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cot(\frac{\pi}{6}),$$ $$x_2 = -\frac{1}{2} - i \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cot(\frac{2\pi}{6}),$$ $$x_3 = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cot(\frac{3\pi}{6}),$$ $$x_4 = -\frac{1}{2} + i\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cot(\frac{4\pi}{6}),$$ $$x_5 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2} \cot(\frac{5\pi}{6}).$$