¿Cuánto de la teoría del esquema puedes visualizar?

Question

Estoy empezando a aprender sobre esquemas y geometría algebraica en general, pero me está resultando muy difícil visualizar las cosas. Por ejemplo, los esquemas afines que parecen variedades se visualizan fácilmente. Pero, ¿qué pasa con los de dimensión infinita o los que no lo son? ¿O los productos de fibra de los esquemas? Así que sólo estoy lanzando esta pregunta a todos los geómetras algebraicos: Cuando uno hace su investigación, ¿cuánto de sus resultados proviene de la intuición geométrica? Si uno tuviera que empezar la investigación en geometría algebraica, ¿qué diría que es lo más importante?

Answer 1

Bueno, has hecho 10 preguntas diferentes, y no estoy seguro de a qué te refieres con "no apropiado" ( $Spec A$ no es adecuado). Pero veamos.

Un esquema es un objeto muy geométrico, con la práctica -o quizá sólo con la costumbre- uno aprende a visualizarlo bastante bien. Si ya ves geométricamente $Spec$ de un álgebra finitamente generada sobre un campo $k$ (incluyendo álgebras con nilpotentes que se visualizan como "engrosamientos", incluyendo $k$ no algebraicamente cerradas que se visualizan como órbitas de Galois; las has mirado, ¿verdad? son pasos importantes) entonces ya casi lo tienes. Añade algunos otros ejemplos estándar como $Spec(\mathbb Z)$ , DVR, una serpiente de dos cabezas (el primer esquema no separado), y ya sabes mucho empieza a investigar.

¿Algebras de dimensión infinita? Bueno, supongo que es tan difícil o fácil imaginarlas como espacios de dimensión infinita.

El producto de la fibra es una noción perfectamente geométrica también, y bastante fácil de visualizar. Se empieza por ver los productos fibra de los conjuntos y se avanza desde ahí a través de algunos ejemplos estándar. Aislar una fibra de un morfismo es un caso importante. Y luego mira algunos ejemplos en los que los campos de residuos de los puntos del esquema cambian. Aprende la forma sencilla de calcular el producto tensorial $A\otimes_R B$ utilizando generadores y relaciones de $A$ y estará en marcha en un abrir y cerrar de ojos.

En cuanto al equilibrio de la geometría frente al álgebra, supongo que depende de la persona y cada uno es diferente. Mi asesor solía decir que la geometría es lo primero y luego el álgebra, y yo estoy de acuerdo. Creo que no se llega a ninguna parte sin la intuición geométrica.

Pero si vas en serio, en algún momento necesitarás una sólida base de álgebra conmutativa. Afortunadamente, hoy en día hay un montón de buenos libros, empezando por el muy agradable y elemental "Undergraduate commutative algebra" de Miles Reid.

Answer 2

Sugiero mirar las ilustraciones en La geometría de los esquemas de Eisenbud y Harris y Geometría algebraica por Hartshorne. Ambos libros tienen muchas imágenes cuidadosamente dibujadas de esquemas que no son variedades. En general, creo que ayuda calcular, o al menos tener en mente, algunos ejemplos relativamente sencillos de un fenómeno. Por ejemplo, si quieres ver la gráfica de un morfismo como un producto de fibras sobre la diagonal del objetivo, puedes probar primero con la línea afín compleja.

No creo que la mayoría de la gente se esfuerce mucho por visualizar esquemas de dimensión infinita, o incluso esquemas complicados de dimensión finita.

Answer 3

Depende de lo que entiendas por "visualizar"...

Para cosas como la propiedad, la separación, la finitud, la suavidad, los productos de fibra, los vectores tangentes, etc., me suele resultar útil entender primero las cosas análogas para los conjuntos y/o las variedades (reales y diferenciables). Pero si se hace esto, también hay que tener en cuenta que la situación de los esquemas suele ser más sutil que la de los conjuntos y las variedades; mientras que las situaciones son análogo A veces no lo son exactamente análogo . Otro problema es que no siempre se sabe cuáles son los análogos apropiados en geometría diferencial de muchos conceptos de geometría algebraica; no siempre se explican en libros de uso común como Hartshorne. Por ejemplo, pasé mucho tiempo totalmente confundido por el criterio valorativo de la propiedad y nunca pude recordar el enunciado --- hasta que me di cuenta de que la propiedad corresponde a la compacidad en geometría diferencial, y que el criterio valorativo es aproximadamente análogo a la compacidad secuencial (que es equivalente a la compacidad, para espacios métricos, por ejemplo, los manifiestos) en topología general.

Otra cosa que me parece útil es entender primero las cosas en el entorno complejo antes de pasar al entorno general. Por ejemplo, las variedades complejas son ejemplos de variedades complejas; las curvas complejas son simplemente superficies de Riemann. En mi opinión, la mejor manera de entender, por ejemplo, los morfismos finitos es comprender lo que son en el caso de las curvas complejas: son cubiertas ramificadas de superficies de Riemann.

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Aparte: Personalmente, creo que los estudiantes de geometría algebraica deberían tomar un curso sobre superficies de Riemann antes (o mientras) toman un curso sobre geometría algebraica abstracta. Ciertamente, me gustaría haberlo hecho. La teoría de las superficies de Riemann es muy bonita y creo que ayuda a motivar algunos de los "grandes teoremas" que se suelen desarrollar en un primer curso de geometría algebraica abstracta: por ejemplo Riemann-Roch y Riemann-Hurwitz.

Probablemente no sea difícil adivinar que también pienso que los estudiantes de geometría algebraica deberían haber tomado un curso de geometría diferencial antes de tomar un curso de geometría algebraica abstracta.

Answer 4

Una cosa que las otras respuestas no han abordado todavía es la dimensionalidad infinita. Pero toda álgebra sobre un anillo noetheriano es un colímite filtrado de álgebras finitamente generadas, que pueden visualizarse individualmente. Por ejemplo, $\mathbf{C}(z)$ es el colímite de los anillos $\mathbf{C}[z][1/f(z)]$ , como $f(z)$ recorre cada vez más polinomios no nulos altamente divisibles. Así que es razonable ver $\mathrm{Spec}\ \mathbf{C}(z)$ como el límite de la línea afín perforada por una familia de puntos exhaustivamente creciente (¡cerrada!).

De hecho, si recuerdo la categoría de esquemas [editar: cuasi-compactos y cuasi-separados] es equivalente a la categoría de sistemas proyectivos de esquemas de tipo finito cuyos mapas de transición son afines. Así que, en cierto sentido básico, el caso de las dimensiones finitas lo determina todo.

Lo principal que nunca he podido encontrar una manera de visualizar es el mapa de Frobenius en característica positiva.

Answer 5

He decidido publicar esto por separado:

un excelente artículo del blog de Lieven Le Bruyn .

En este post, analiza en detalle el dibujo de Mumford (en el libro rojo) de la "superficie aritmética".

¡Simplemente maravilloso!