¿Qué requeriría una prueba "moral" de las conjeturas de Weil?

Question

Al final de esta entrevista de 2006 (rm) , dice Kontsevich

"...muchos grandes teoremas se demuestran originalmente, pero creo que las pruebas no son, en cierto modo, "moralmente correctas". Debería haber mejores pruebas... Creo que el Teorema del Índice de Atiyah y Singer... su prueba original, creo que es fea en cierto sentido y hasta ahora, no tenemos "la prueba correcta". O la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil, es una prueba moralmente incorrecta. Ahora hay tres pruebas, pero todavía no es la correcta".

Intento entender qué quiere decir Kontsevich con que una prueba no es "moralmente correcta". He leído este artículo de Eugenia Cheng sobre la moralidad en el contexto de las matemáticas, pero no tengo del todo claro lo que significa con respecto a un ejemplo explícito. La idea general parece ser que una "prueba moral" sería aquella que está bien motivada por la teoría y en la que cada paso está justificado por un principio rector, a diferencia de una "inmoral" que es matemáticamente correcta pero relativamente ad hoc.

Para acotar el alcance de esta pregunta y (espero) hacerla más comprensible para mí, me gustaría centrarme en la segunda parte del comentario. ¿Por qué dice Kontsevich que la prueba de Deligne no es "moralmente correcta"? Y lo que es más importante, ¿Qué implicaría una "prueba moral" de las Conjeturas de Weil?

¿Una prueba moral tendría que utilizar ideas motivacionales, como esperaba Grothendieck en sus intentos de demostrar las Conjeturas de Weil? ¿Ha habido algún intento de "moralizar" la prueba de Deligne? ¿Cómo se comportan las demás pruebas de las conjeturas de Weil con respecto a la moralidad matemática?

Answer 1

Supongo que la prueba prevista por Grothendieck, mediante las conjeturas estándar, sería "moralmente correcta" en el sentido de Kontsevich. (Aunque está la cuestión de cómo se demostrarían las conjeturas estándar conjeturas estándar; puesto que siguen siendo conjeturas, ¡esta cuestión está abierta por ahora!)

La objeción a la prueba de Deligne es que se basa en varias técnicas (paso a potencias simétricas e ideas inspiradas en Rankin--Selberg, argumentos analíticos relacionados con la positividad de los coeficientes de la función zeta, y otras cosas por el estilo) que no parecen estar naturalmente relacionadas con la cuestión en cuestión. Creo que Grothendieck tenía una objeción similar al argumento de Deligne.

Como teórico de los números, creo que la prueba de Deligne es fantástica. Uno de los atractivos (al menos para mí) de la teoría de los números es que ninguna de las pruebas es "moralmente correcta" en el sentido de Kontsevich. Obviamente, esto es un sentimiento muy personal.

(Por supuesto, una prueba de las conjeturas estándar -cualquier prueba, en mi opinión- también sería fantástica).

[Algunos argumentos de la teoría de números, por ejemplo el teorema de la raíz primitiva que se discute en los comentarios, son álgebra pura cuando se ven adecuadamente, y aquí hay argumentos muy naturales y directos. (Por ejemplo, en el caso de las raíces primitivas, hay una teoría de campos básica combinada con el lema de Hensel/la aproximación de Newton; este estilo de argumentación se extiende, de alguna forma, al entorno muy general de los anillos locales completos). Cuando escribí que ninguna de las pruebas en la teoría de números son "moralmente correctas", tenía en mente en gran medida las pruebas en la teoría de números algebraica moderna, como la modularidad de las curvas elípticas, la conjetura de Serre, Sato--Tate, y así sucesivamente. Las pruebas utilizan (casi) todo bajo el sol, y no siguen ningún dogma. Tate escribió sobre la teoría de campos de clases abelianas que "es cierta porque no podría ser de otra manera" (si recuerdo bien la cita), lo que interpreté como (dado el contexto) que las pruebas al final no son esclarecedoras de la verdadera razón por la que es verdadera; son simplemente pruebas lógicamente correctas. Esto parece ser aún más el caso de las pruebas de los resultados en la teoría de campos de clase no abeliana, como los mencionados anteriormente. A pesar de esto, personalmente encuentro los argumentos maravillosos; es uno de los atractivos del tema para mí.

Answer 2

No soy en absoluto un experto en geometría algebraica. Pero quizá pueda decir algo. Kontsevich parece que alguna vez escribió un libro "Más allá del número" Hay un párrafo:

"Muy a menudo, un matemático considera a su colega de otro ámbito con desdén: ¿qué clase de alegría perversa puede encontrar este tipo en su materia desmotivada y sencillamente aburrida? He tratado de aprender la belleza oculta en varias cosas, pero todavía para muchas áreas la fuente de interés es para mí un completo misterio.

Mi teoría es que, con demasiada frecuencia, la gente proyecta sus debilidades/propiedades humanas sobre su actividad matemática.

Hay ejemplos obvios en la superficie: por ejemplo, la idea de una clasificación de algunos objetos es una encarnación de los instintos de coleccionista, la búsqueda de valores máximos es otra forma de codicia, la computabilidad/decidibilidad proviene del deseo de un control total.

La fascinación por las iteraciones es similar al hipnotismo de la música rítmica. Por supuesto, la clasificación de algunos tipos de objetos podría ser muy útil en el análisis de estructuras más complicadas, o simplemente podría memorizarse en casos sencillos.

El conocimiento del máximo exacto o de un límite superior de alguna cantidad en función de los parámetros da una idea sobre el rango de sus posibles valores. Una computabilidad teórica puede ser, de hecho, práctica para los experimentos informáticos. Aun así, para mí la motivación es sobre todo el deseo de comprender la maquinaria oculta en un ejemplo concreto y llamativo, en torno al cual se pueden construir formalismos.

..... En un sentido profundo, todos somos geómetras".

Creo que lo que Kontsevich quiere decir es que no sólo el resultado debe ser correcto, sino que el método para obtenerlo debe ser elegante y natural. Tal y como mencionó, lo más interesante para él es la maquinaria oculta detrás de los ejemplos llamativos. Por ejemplo, digamos el teorema del índice de Atiyah-Singer. Rosenberg alguna vez mencionó en la clase, que este teorema debería tener la maquinaria viviendo en las categorías abelianas o incluso en las categorías exactas en lugar de las categorías trianguladas (donde ahora vive Grothendieck Riemman Roch). Supongo que lo que están pensando es que hay que usar alguna construcciones universales teoría universal" (en cierto sentido). Siempre hacen hincapié en una frase "Las matemáticas deben ser sencillas" lo que podría significar que la demostración de algún gran teorema debería ser sencilla. Es decir, no hay que pensar mucho porque "el cerebro de los humanos es débil".

Sin embargo, estoy de acuerdo con Emerton en que se trata de sentimientos muy personales

Answer 3

Es de suponer que Kontsevich se refiere al hecho de que Deligne utilizó un "truco" para demostrar las conjeturas de Weil. Es de suponer que Kontsevich se refiere a las conjeturas estándar de Grothendieck sobre los ciclos algebraicos, que nos permitirían "realizar el sueño de los motivos".

No veo la forma de "moralizar" la prueba de Deligne, porque como he dicho, se basa en un "truco" que elude las partes difíciles de las conjeturas estándar.

Answer 4

Esto es tanto una respuesta como una pregunta:

Como parte de la respuesta a un anterior pregunta mío, David Speyer escribió eso:

... se sabe cómo adaptar la prueba de Weil de la hipótesis de Riemann a S de mayor dimensión, si se tuviera un análogo del teorema del índice de Hodge para $S \times S$ en la característica p. Me han dicho que una buena referencia para esto es Los ciclos algebraicos de Kleiman y las conjeturas de Weil ...

Así que quizás una prueba "moral" requeriría un teorema del índice de Hodge en la característica p.

Sin embargo, David escribe más tarde que las conjeturas estándar de Grothendieck afirman que el teorema de Hodge se mantiene. Entonces, ¿es esta posible prueba la misma que la "prevista por Grothendieck"?