¿Puede un compacto plano conectado menos un punto estar totalmente desconectado?

Question

Lo que decía el título. De forma un poco más pausada:-

Dejemos que $X$ sea un subconjunto compacto y conexo de $\mathbb{R}^2$ con más de un punto, y que $x\in X$ . Puede $X\smallsetminus\{x\}$ estar totalmente desconectado?

Tenga en cuenta que el Fan de Knaster-Kuratowski muestra que, en ausencia de la hipótesis de compacidad, la respuesta puede ser "sí".

Para dar crédito a quien lo merece, esta pregunta se inspiró en una que me hizo Barry Simon.

Answer 1

Ser planar no tiene nada que ver con el problema. Supongamos que una desconexión total $X$ y elija $b$ diferente de $a$ . Al pasar a un subcontinuo, se supone que ningún subcontinuo propio contiene tanto $a$ y $b$ . Tome conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos $U$ y $V$ cuya unión es $ X\sim a$ . WLOG $b$ está en $U$ y observa que $U\cup \{a\}$ está cerrado y conectado.

Answer 2

Denotemos por $U_n\subset \mathbb R^2$ una secuencia de vecindades abiertas y limitadas de $X$ para que $$U_{n+1}\subset U_n\ \ \text{and}\ \ \bigcap_n U_n=X.$$ Podemos suponer que todos los $U_n$ están conectadas y, por lo tanto, conectadas por el camino. Elija un punto $p\in X$ distict de $x$ y considerar una secuencia de caminos $\gamma_n$ sur $U_n$ de $p$ a $x$ . Arreglar $\epsilon>0$ tal que $\epsilon<|p-x|$ . Para cada camino, elija el valor más pequeño $t_n\in[0,1]$ para que $|\gamma_n(t_n)-x|=\epsilon$ . La imagen $Z_n=\gamma([0,t_n])$ es un conjunto compacto conectado. Sea $Z$ sea un límite Hausdorff de una subsecuencia de $Z_n$ . Tenga en cuenta que $Z$ es un subconjunto compacto y conectado de $X$ . Claramente, $Z\not\ni x$ y contiene al menos dos puntos; una contradicción

Answer 3

Ya se han dado dos grandes respuestas, y no pretendo añadir mucho, pero aquí hay algo de todos modos.

Un espacio de Hausdorff totalmente desconectado y localmente compacto tiene una base de conjuntos cerrados, según Proposición 3.1.7 de Arhangel'skii y Tkachenko por ejemplo. Un conjunto cerrado en $X-\{a\}$ no es necesario que se cierre en $X$ pero si $X$ es un espacio métrico, entonces los subconjuntos cerrados de $X-\{a\}$ a una distancia positiva de $a$ se abrirá en $X$ . Por lo tanto, si $X$ es un espacio métrico compacto con más de un punto y $X-\{a\}$ está totalmente desconectado, entonces $X$ no está conectado.

Answer 4

Estaba buscando un hecho relacionado, y sorprendentemente no pude encontrar nada relevante, excepto esta pregunta. Aunque fue contestada hace 10 años, quizás el siguiente resultado pueda ser útil para alguien.

Propuesta. Dejemos que $X$ sea un espacio métrico conexo que contenga más de un punto. Sea $A\subset X$ ser totalmente desconectado y localmente compacto con respecto a la topología del subespacio. Entonces $A$ no es denso en ninguna parte.

Prueba. En primer lugar, vamos a mostrar $int A =\varnothing$ . Supongamos que $U$ es un conjunto abierto en $X$ tal que $\overline{U}$ es compacto y está contenido en $A$ y $x\in U$ . Dado que un espacio paracompacto localmente compacto totalmente desconectado es de dimensión cero (véase 6.2.9 en la Topología General de Engelking), existe una vecindad abierta $V\subset U$ de $x$ que es clopen en $A$ . Entonces, hay conjuntos cerrados $F$ sur $X$ y conjunto abierto $W$ sur $X$ tal que $V=A\cap F=A\cap W$ . Desde $V\subset U\subset A$ , $V=U\cap W$ está abierto en $X$ . Desde $V\subset \overline{U}\subset A$ , $V=\overline{U}\cap F$ está cerrado en $X$ . Por lo tanto, $V$ es no vacía y clopen en $X$ lo que contradice su conectividad.

Recordemos que un conjunto localmente compacto es abierto en su cierre (véase 3.3.9 en Engelking). Por lo tanto, $A=\overline{A}\cap U$ para algunos abiertos $U\subset X$ . Supongamos que $int \overline{A}\ne\varnothing$ . Entonces, hay $x\in int \overline{A} \cap A= int \overline{A} \cap\overline{A}\cap U=int \overline{A} \cap U\subset \overline{A} \cap U=A$ de donde $x\in int \overline{A} \cap U\subset A$ y así $x\in int A$ . Contradicción con el paso anterior.

Corolario. Si $X$ es un espacio métrico completo conectado que contiene más de un punto, no puede ser cubierto por una colección contable de subconjuntos localmente compactos totalmente desconectados.

En particular En el caso de un continuo, no podemos eliminar un conjunto cerrado totalmente desconectado (por ejemplo, un solo punto) para que sea totalmente desconectado.