Encuentra una ecuación cartesiana para la curva e identifícala. $ r^2 \cos 2\theta = 1$

Question

Encuentra una ecuación cartesiana para la curva e identifícala. $$ r^2 \cos 2\theta = 1$$

Estoy confundido por la $2\theta.$

He aislado $r^2$ para conseguir $r^2 = \frac{1}{\cos2\theta}$

Ahora bien, normalmente si se tratara de un $\cos \theta$ Yo multiplicaría ambos lados por $\frac{1}{r}$ y luego sustituir $r$ para $\sqrt {x^2+y^2}$ y luego sustituir $r\cos\theta$ para $x$ . Pero el $2\theta$ no permite que eso ocurra.

Answer 1

Desde $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta -1$ entonces $$r^2 \cos 2 \theta = 2 r^2 \cos^2 \theta - r^2 = 2(r \cos \theta)^2 - r^2 = 2x^2 - (x^2 + y^2) = x^2 - y^2 ,$$ por lo que su curva es $x^2 - y^2 = 1$ que se sabe que es una hipérbola que tiene las líneas $y = \pm x$ como asíntotas.

Answer 2

Utilizando $cos2\theta$ = $cos^2\theta - sin^2\theta$ ,

$r^2(cos^2\theta - sin^2\theta$ ) =1

$(rcos\theta)^2$ - ( $rsin\theta)^2$ = 1

$x^2 - y^2 = 1$ .

Se trata de una hipérbola centrada en el origen.

Answer 3

Hay varias formas de abordarlo, pero aquí tienes una pista de cómo lo haría yo: $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ y $x = r \cos\theta$ Así que $x^2 = \dots$ Y así...