Determinar si el proceso $Z$ es una martingala.

Question

Tengo que determinar si un proceso $Z$ definido por $Z_0 = 0$ y $Z_t = W_t^5 - 10 \int_0^t W_u^3 du$ es una martingala. Donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar.

Pensé que la mejor manera de empezar era determinar $dZ_t$ y ver lo que obtenemos. Así que, primero usé el lema de Ito para calcular el primer término. Después de un poco de trabajo obtuve $5W_t^4dW_t + 10 W_t^3dt$ .

Entonces quería calcular $10 \int_0^t W_u^3 du$ Sin embargo, no sabía cómo calcularlo. Tal vez pueda volver a utilizar el lema de Ito, pero no sé cómo hacerlo.

¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Esto es sólo una confusión de notas. Recuerde que $dY_t = b_t dW_t$ es sólo una notación para $Y_t = \int_0^t b_u dW_u$ . En este problema, $Y_t := \int_0^t W_u^3dW_u$ equivale a $dY_t = W_t^3 dW_t$ .