Para $f(x)=-x, 0\leq x \leq 1$ , ampliar $f(x)$ en una función par en $-1 \leq x \leq 0$ y luego mira $f(x)$ como una función periódica en $ -\infty < x < \infty $ . Encuentra la serie de Fourier para esta función.
Así que creo que sí: $$f(x)=a_0 + \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(\frac{n \pi x}{2})+b_n \sin(\frac{n \pi x}{2})$$ Desde $f(x)$ es ahora uniforme, el $b_n$ los coeficientes serán $0$ .
Entonces, calculando los coeficientes: $$a_0=\frac{1}{2} \int_0^2(-x)dx=-4$$
$$a_n= \int_0^2(-x)\cos(\frac{n \pi x}{2})dx=[\frac{-2x}{n \pi}\sin(\frac{n \pi x}{2})]_0^2+\frac{2}{n \pi}\int_0^2 \sin(\frac{n \pi x}{2}) dx$$
$$=\frac{-4}{n^2 \pi^2}[\cos(\frac{n \pi x}{2})]_0^2=\frac{-4}{n^2 \pi^2}[(-1)^n-1]$$
Para un n par, esto es $0$ . Así que dejemos $n=2m-1, m=1,2,...$
De ahí que la respuesta final sea: $$f(x)=-4+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8}{(2m-1)^2\pi^2}\cos(\frac{(2m-1)\pi x}{2})$$
¿Esto es correcto? No estoy seguro de haber extendido la función correctamente al principio. Dibujé un boceto de la misma y se asemeja a un montón de W's bajo el eje x.
