Demuestra que esta secuencia es decreciente

Question

Demuestra que esta secuencia es decreciente para todo $0<x<1$ y $ x>1$ : $$n(x^{1/n} -1)$$

He intentado mostrar $(n+1)(x^{\frac{1}{n+1}} -1)<n(x^{1/n} -1)$ separando en los casos $x>1$ y $x<1$ pero terminan con la desigualdad $nx^{\frac{1}{n+1}} + x^{\frac{1}{n+1}} < nx^{1/n} + 1$ y sólo puede demostrar que $ x^{1/n} < x^{\frac{1}{n+1}}< 1$ o viceversa según el caso, lo que no demuestra definitivamente la primera desigualdad.

Answer 1

La desigualdad AM-GM da como resultado:

$$\frac{nx^{1/n} + 1}{n+1} \ge \left( (x^{1/n})^n \times 1 \right)^{1/{n+1}} = x^{1/(n+1)}$$

con igualdad sólo cuando $x = 1$ . Esto demuestra su resultado.