En la física newtoniana (mecánica clásica) un cuerpo gira alrededor de otro (masivo) con velocidad circular constante (trayectoria estacionaria) eternamente. La velocidad lineal v es perpendicular al radio y la fuerza F es a lo largo del radio y por lo tanto perpendicular a v. F induce la aceleración 'a' (F=ma) que en el tiempo dt induce dv a lo largo de la fuerza. Por ejemplo, v y dv son estrictamente perpendiculares. Estos dos se suman como vectores y la suma es de nuevo v, pero no en la misma dirección que v sino un poco inclinada hacia el segundo cuerpo (el masivo). Esto parece estar muy en conflicto con el Teorema de Pitágoras (TP). Los físicos insisten en que esto se debe al carácter infinitesimal de dv, pero esto no viola el TP. Por ejemplo, al añadir una perpendicular dv a v se obtiene la misma magnitud de v (no $\sqrt{v^{2}+\left( dv\right) ^{2}}$ ) pero esto no es una violación del PT. Estoy en un total malentendido. De hecho insisten en que esto ocurre porque mientras dv es infiniesimal que $\left( dv\right) ^{2}=0$ . No creo que esto también sea cierto. Así que la pregunta es: ¿Se cumple la PT para el tramo infinitesimal o no y cómo es posible que v+dv sea igual a v y simultáneamente la PT sea cierta?
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Ampliando el comentario de @Intelligenti pauca, la serie de potencia para $\sqrt{x^2+y^2}$ en términos de $y$ centrado en $0$ comienza como $$\lvert x\rvert + \frac{y^2}{2\lvert x\rvert} + \frac{y^4}{8 \lvert x\rvert^3} + \frac{y^6}{16\lvert x\rvert^5} +\cdots$$ Por lo tanto, en primer orden con respecto a $y$ , $\sqrt{x^2+y^2}\approx \lvert x\rvert$ .
Antes de ver cómo interactúa esto con el cálculo de $\frac{d\lvert \mathrm{v}\rvert}{dt}$ , calculemos la derivada directamente para poder creer que es cero al menos matemáticamente. Escribe $v_x$ y $v_y$ para los dos componentes de $\mathrm{v}$ . Tomando las derivadas, obtenemos $$\frac{d\lvert\mathrm{v}\rvert}{dt} = \frac{d\sqrt{v_x^2+v_y^2}}{dt} = \frac{1}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\left(v_x\frac{d v_x}{dt} + v_y\frac{d v_y}{dt}\right) = \frac{1}{\lvert \mathrm{v}\rvert}\left(v_x\frac{d v_x}{dt} + v_y\frac{d v_y}{dt}\right)$$ Cuando evaluamos en el $t$ donde $v_x=v$ y $v_y=0$ que, según la física, es cuando $\frac{d v_x}{dt}=0$ (de forma no rigurosa, se trata de que " $\mathrm{v}$ y $d\mathrm{v}$ son ortogonales"), entonces podemos ver que la derivada se evalúa como $0$ .
Ahora vamos a utilizar la serie de potencias para calcular la derivada. Sustituyendo en $v_x$ y $v_y$ obtenemos $$\lvert\mathrm{v}\rvert = \lvert v_x\rvert + \frac{v_y^2}{2\lvert v_x\rvert} + \cdots$$ Tomando la derivada con respecto a $t$ obtenemos $$ \frac{d\lvert\mathrm{v}\rvert}{dt} = \frac{d\lvert v_x\rvert}{dt}+\left(-\frac{v_y^2}{2v_x^2}\frac{d\lvert v_x\rvert}{dt} + \frac{v_y}{\lvert v_x\rvert}\frac{d v_y}{dt} \right) + \cdots $$ Aquí es donde podemos ver que el hecho de utilizar $\sqrt{x^2+y^2}$ a primer orden es todo lo que importa: ya que $v_y=0$ todo a partir del segundo término es cero y nos quedamos con $\frac{d\lvert\mathrm{v}\rvert}{dt} = \frac{d\lvert v_x\rvert}{dt}$ .
En resumen: En caso de duda, intente eliminar los diferenciales y utilice directamente las derivadas. La mayoría de las veces, afirmaciones como " $dv^2=0$ " representan la manipulación de una serie de potencias, en este caso que los términos de segundo orden y superiores no contribuyen a la primera derivada.
