¿Los objetos no asociativos tienen una noción natural de representación?

Question

A magma es un conjunto $M$ equipado con una operación binaria $* : M \times M \to M$ . En álgebra abstracta solemos empezar estudiando un tipo especial de magma: los grupos. Los grupos satisfacen ciertos axiomas adicionales que deben satisfacer las "simetrías de las cosas". Esto se precisa en el sentido de que para cualquier objeto $A$ en una categoría $C$ los morfismos invertibles $A \to A$ tienen una estructura de grupo dada de nuevo por la composición. Una definición alternativa de "grupo" es, pues, "categoría de un objeto con morfismos invertibles", y entonces los axiomas adicionales que satisfacen los grupos se derivan de los axiomas de una categoría (que, por ahora, consideraremos significativos). Por tanto, los grupos vienen equipados con una noción natural de representación: una representación de un grupo $G$ (en sentido amplio) es sólo un functor de $G$ . Las opciones típicas de la categoría de destino incluyen $\text{Set}$ y $\text{Hilb}$ .

Me parece, sin embargo, que los magmas (y sus primos, como las álgebras no asociativas) no admiten naturalmente la misma interpretación; cuando se desecha la asociatividad, se pierde la conexión con la composición de funciones. Se puede pensar en los ejemplos anteriores de la siguiente manera: hay una categoría de grupos, y para estudiar el grupo $G$ nos gusta estudiar el functor $\text{Hom}(G, -)$ y para estudiar este functor nos gusta introducir los grupos $S_n$ o los grupos $GL_n(\mathbb{C})$ etc. a la derecha, ya que estos son "naturales" de ver. Pero en la categoría de magmas no tengo ni idea de cuáles son los ejemplos "naturales".

Pregunta 1: ¿Tienen los magmas y objetos afines, como las álgebras no asociativas, una noción "natural" de "representación"?

No me queda del todo claro qué debe significar "natural". Una propiedad que me gustaría que tuviera tal noción es un análogo del teorema de Cayley.

Para ciertas clases especiales de objetos no asociativos existe a veces una noción de "natural": por ejemplo, entre las álgebras no necesariamente asociativas podemos destacar las álgebras de Lie, y éstas tienen una noción "natural" de representación porque queremos que el mapa de los grupos de Lie a las álgebras de Lie sea functorial. Pero esta es una consideración muy especial; no sé qué se puede decir en general.

(Si se te ocurren mejores etiquetas, no dudes en reetiquetar).

Edit : Esta es quizás una versión más centrada de la pregunta.

Pregunta 2: ¿Existe una secuencia "bonita" $M_n$ de magmas finitos tal que cualquier magma finito $M$ está determinada por la secuencia $\text{Hom}(M, M_n)$ ? (En particular, $M_n$ no debería ser una enumeración de todos los magmas finitos) Una definición de "bonito" podría ser que existen morfismos compatibles $M_n \times M_m \to M_{n+m}$ pero no tengo claro que esto sea necesariamente deseable.

Edit : Esta es quizás otra versión más centrada de la pregunta.

Pregunta 3: ¿Puede realizarse la categoría de magmas como una categoría de categorías pequeñas de forma que se generalice la realización habitual de la categoría de grupos como una categoría de categorías pequeñas?

Edit : Tom Church plantea un buen punto en los comentarios que no he abordado directamente. Las motivaciones que he dado más arriba para la noción "natural" de representación de un grupo o un álgebra de Lie son en cierto sentido externas a su descripción ecuacional y provienen realmente de lo que nos gustaría que hicieran los grupos y las álgebras de Lie por nosotros. Así que supongo que parte de lo que estoy preguntando es si hay una motivación externa sensata para estudiar magmas arbitrarias, y si esa motivación nos lleva a una buena definición de representación.

Edit : Supongo que también debería hacer esto explícito. Hay dos tipos de respuestas completamente opuestas que aceptaría como una buena respuesta a esta pregunta:

• Una que da una motivación "externa" al estudio de magmas arbitrarios (de forma similar a como los sistemas dinámicos motivan el estudio de operaciones unarias arbitrarias $M \to M$ ) que sugiere una noción natural de representación, como la anterior. Esta noción podría no parecerse en nada a la noción habitual de una acción de grupo o de una representación lineal, y podría no responder a la pregunta 3.

• Uno que sea "autónomo" en algún sentido. Lo ideal sería que consistiera en una respuesta a la pregunta 3. Me imagino alguna variante de la siguiente construcción: a cada magma $M$ asociamos una categoría cuyos objetos son los enteros no negativos donde $\text{Hom}(m, n)$ se compone de árboles binarios con $n$ raíces (orden distinguido izquierda-derecha) y $m$ hojas "vacías" (igual), con las restantes hojas del árbol etiquetadas por elementos de $M$ . La composición viene dada por la introducción de raíces en hojas vacías. Creo que esto es en realidad una 2-categoría con 2-morfismos dados por colapsar pares de elementos de $M$ con el mismo padre en su producto. ¡Una respuesta ideal sería explicar por qué esta construcción, o alguna variante de la misma, o alguna otra construcción por completo, es natural desde alguna perspectiva de categoría superior y entonces alguien escribiría sobre ello en el nLab!

Answer 1

Existe un método instantáneo para producir "módulos" sobre cualquier cosa: dado un objeto $C$ en cualquier categoría $\mathcal C$ con pullbacks, se define $$ C-\textrm{mod}:=\textrm{Ab}(\mathcal C/C) $$ (la categoría de grupos abelianos internos en el corte sobre $C$ ).

Por supuesto, como todo rapidito, no siempre es lo que quieres. Pero al menos siempre está ahí :)

Answer 2

Hay una cosa que ocurre en el contexto del exceso de Lurie Álgebra superior que parece estar relacionado con esta pregunta.

Concretamente, en el capítulo 3.3, Lurie introduce una noción bastante general de "módulo para un álgebra de una operada". Más concretamente, fijamos los siguientes datos:

• Una operada unital $O$ (aquí "unital" significa que para cada color $C$ de la operada, hay un único nulo $C$ -operación valorada). Por ejemplo, $O$ podría ser la operada para los magmas unitales. No sé hasta qué punto es esencial la hipótesis de la unitalidad.

• Una "fibración de operadas generalizadas" $C \to O$ . Creo que debemos pensar en esto como una categoría $C$ con " $O$ -estructura monoidal", o una $O$ -objeto de álgebra en $Cat$ . Por ejemplo, si $O$ es la operada para los magmas unitales, entonces cualquier categoría monoidal adquiere tal estructura por restricción a lo largo del mapa de $O$ a la operativa asociativa.

• Un $O$ -Álgebra $A$ en $C$ . No estoy 100% seguro de estar desenrollando las definiciones correctamente (Lurie tiene varios conceptos sutilmente diferentes que denota por " $Alg$ " con varias decoraciones, y no tengo claro qué es qué), pero creo que cuando $O$ es la operada para los magmas unitales y $C$ es una categoría monoidal, entonces $A$ es sólo un objeto de magma unital en $C$ .

A partir de estos datos, Lurie define una categoría de " $O$ -objetos del módulo sobre $A$ ", denotando

$$Mod_A^O(C)$$

No tengo una gran comprensión de esto - parte de la cuestión es que, de hecho, Lurie no aísla esta construcción, en lugar de saltar directamente a la construcción de esta categoría más un completo $O$ -estructura monomonoidal (e incluso empaquetarlo todo en una construcción mayor que permita $A$ variar), lo que requiere su hipótesis técnica de "coherencia". (Advertencia: Lurie no demuestra que $Mod_A^O(C)$ es una categoría en general -- sin la hipótesis de la "coherencia", podría ser simplemente un conjunto simplicial. Pero procederé bajo la suposición de que aunque la coherencia es necesaria para obtener un $O$ -estructura monoidal en $Mod_A^O(C)$ probablemente sea el caso de que $Mod_A^O(C)$ es al menos una categoría en mayor generalidad). Sin embargo, Lurie dice que

• Cuando $O$ es la operada conmutativa, recuperamos la noción habitual de módulo sobre un álgebra conmutativa $A$ ;

• Cuando $O$ es la operada asociativa, recuperamos la noción de $(A,A)$ -bimódulo .

Este segundo punto realmente me confunde, y vale la pena repetirlo -- para Lurie, un "módulo sobre un objeto de álgebra asociativa" es ni a la izquierda ni un módulo derecho, sino más bien un bimódulo (Me apresuro a añadir que desarrolla la teoría de los módulos izquierdo y derecho por separado, sin referencia a este contexto más general). Por ejemplo, la noción de Lurie no recupera la noción de grupo que actúa sobre un conjunto. Lurie explica que la motivación para hacerlo así (cuya idea creo que atribuye a John Francis) es que quiere tener una $O$ -en la categoría de $A$ -módulos- y, por supuesto, dejó $A$ -Los módulos no suelen tener una estructura monoidal, pero $(A,A)$ -bimódulos hacer . No tengo ni idea de si la operada para los magmas unitales satisface la condición técnica de "coherencia" que garantiza que $Mod_A^O(C)$ tiene, de hecho, un $O$ -estructura monoidal; si no lo hace, entonces la principal motivación para introducir esta noción se evapora y quizás termine por no ser útil. Pero sigue estando ahí.

Si tengo la oportunidad de desentrañar lo que produce esta construcción en el caso de la operada para los magmas y las categorías ordinarias de 1, editaré para añadir más. O tal vez alguien más familiarizado con estas cosas pueda intervenir.