¿Los objetos no asociativos tienen una noción natural de representación?

Question

A magma es un conjunto $M$ equipado con una operación binaria $* : M \times M \to M$ . En álgebra abstracta solemos empezar estudiando un tipo especial de magma: los grupos. Los grupos satisfacen ciertos axiomas adicionales que deben satisfacer las "simetrías de las cosas". Esto se precisa en el sentido de que para cualquier objeto $A$ en una categoría $C$ los morfismos invertibles $A \to A$ tienen una estructura de grupo dada de nuevo por la composición. Una definición alternativa de "grupo" es, pues, "categoría de un objeto con morfismos invertibles", y entonces los axiomas adicionales que satisfacen los grupos se derivan de los axiomas de una categoría (que, por ahora, consideraremos significativos). Por tanto, los grupos vienen equipados con una noción natural de representación: una representación de un grupo $G$ (en sentido amplio) es sólo un functor de $G$ . Las opciones típicas de la categoría de destino incluyen $\text{Set}$ y $\text{Hilb}$ .

Me parece, sin embargo, que los magmas (y sus primos, como las álgebras no asociativas) no admiten naturalmente la misma interpretación; cuando se desecha la asociatividad, se pierde la conexión con la composición de funciones. Se puede pensar en los ejemplos anteriores de la siguiente manera: hay una categoría de grupos, y para estudiar el grupo $G$ nos gusta estudiar el functor $\text{Hom}(G, -)$ y para estudiar este functor nos gusta introducir los grupos $S_n$ o los grupos $GL_n(\mathbb{C})$ etc. a la derecha, ya que estos son "naturales" de ver. Pero en la categoría de magmas no tengo ni idea de cuáles son los ejemplos "naturales".

Pregunta 1: ¿Tienen los magmas y objetos afines, como las álgebras no asociativas, una noción "natural" de "representación"?

No me queda del todo claro qué debe significar "natural". Una propiedad que me gustaría que tuviera tal noción es un análogo del teorema de Cayley.

Para ciertas clases especiales de objetos no asociativos existe a veces una noción de "natural": por ejemplo, entre las álgebras no necesariamente asociativas podemos destacar las álgebras de Lie, y éstas tienen una noción "natural" de representación porque queremos que el mapa de los grupos de Lie a las álgebras de Lie sea functorial. Pero esta es una consideración muy especial; no sé qué se puede decir en general.

(Si se te ocurren mejores etiquetas, no dudes en reetiquetar).

Edit : Esta es quizás una versión más centrada de la pregunta.

Pregunta 2: ¿Existe una secuencia "bonita" $M_n$ de magmas finitos tal que cualquier magma finito $M$ está determinada por la secuencia $\text{Hom}(M, M_n)$ ? (En particular, $M_n$ no debería ser una enumeración de todos los magmas finitos) Una definición de "bonito" podría ser que existen morfismos compatibles $M_n \times M_m \to M_{n+m}$ pero no tengo claro que esto sea necesariamente deseable.

Edit : Esta es quizás otra versión más centrada de la pregunta.

Pregunta 3: ¿Puede realizarse la categoría de magmas como una categoría de categorías pequeñas de forma que se generalice la realización habitual de la categoría de grupos como una categoría de categorías pequeñas?

Edit : Tom Church plantea un buen punto en los comentarios que no he abordado directamente. Las motivaciones que he dado más arriba para la noción "natural" de representación de un grupo o un álgebra de Lie son en cierto sentido externas a su descripción ecuacional y provienen realmente de lo que nos gustaría que hicieran los grupos y las álgebras de Lie por nosotros. Así que supongo que parte de lo que estoy preguntando es si hay una motivación externa sensata para estudiar magmas arbitrarias, y si esa motivación nos lleva a una buena definición de representación.

Edit : Supongo que también debería hacer esto explícito. Hay dos tipos de respuestas completamente opuestas que aceptaría como una buena respuesta a esta pregunta:

• Una que da una motivación "externa" al estudio de magmas arbitrarios (de forma similar a como los sistemas dinámicos motivan el estudio de operaciones unarias arbitrarias $M \to M$ ) que sugiere una noción natural de representación, como la anterior. Esta noción podría no parecerse en nada a la noción habitual de una acción de grupo o de una representación lineal, y podría no responder a la pregunta 3.

• Uno que sea "autónomo" en algún sentido. Lo ideal sería que consistiera en una respuesta a la pregunta 3. Me imagino alguna variante de la siguiente construcción: a cada magma $M$ asociamos una categoría cuyos objetos son los enteros no negativos donde $\text{Hom}(m, n)$ se compone de árboles binarios con $n$ raíces (orden distinguido izquierda-derecha) y $m$ hojas "vacías" (igual), con las restantes hojas del árbol etiquetadas por elementos de $M$ . La composición viene dada por la introducción de raíces en hojas vacías. Creo que esto es en realidad una 2-categoría con 2-morfismos dados por colapsar pares de elementos de $M$ con el mismo padre en su producto. ¡Una respuesta ideal sería explicar por qué esta construcción, o alguna variante de la misma, o alguna otra construcción por completo, es natural desde alguna perspectiva de categoría superior y entonces alguien escribiría sobre ello en el nLab!

Answer 1

Como los magmas en general no tienen mucha estructura, no podemos esperar razonablemente que una representación conserve mucha estructura. Por lo tanto, podemos definir una representación izquierda de un magma $M$ para ser un conjunto $V$ equipado con un mapa $M \times V \to V$ . Hacemos lo mismo para las álgebras generales no asociativas. A Serge Lang le gustaba describir una noción de representación regular izquierda de un álgebra $A$ que no es más que el mapa lineal $A \to \operatorname{End} (A)$ que lleva un elemento a la transformación lineal que induce la multiplicación por la izquierda. Como es de esperar, este mapa es un homomorfismo si y sólo si el álgebra es asociativa.

Hay casos especiales de álgebras no asociativas que admiten buenas nociones de representación, y en los casos que conozco, éstas surgen de operadas que tienen "buenas relaciones" con la operada asociativa. El ejemplo estándar es el mapa natural de la operada de Lie a la operada asociativa que da lugar al funtor de olvido de las álgebras asociativas a las álgebras de Lie. Este functor admite el functor universal de álgebra envolvente como adjunto izquierdo. Existe un formalismo de operadas envolventes que generaliza este caso. El resultado es que estos casos especiales tienen mucha más estructura que una simple ley de composición, por lo que podemos exigir más a una representación (en concreto, que respete la estructura de las operadas tal y como se manifiesta a través del álgebra envolvente universal).

Answer 2

Permítame concentrarme en su primera pregunta (francamente, la forma en que formula su segunda pregunta carece ligeramente de motivación).

El caso en el que hay una sugerencia razonable, supone que se trabaja con algún tipo de álgebras no asociativas sobre un campo, y todas las identidades se siguen de las multilineales. En otras palabras, la categoría de álgebras que estás estudiando es la categoría de álgebras sobre alguna operada $O$ . En este caso, hay una buena manera de describir un módulo sobre tal álgebra. Para un álgebra $A$ una estructura modular en $V$ viene dada por una colección de operaciones definida por todas las operaciones posibles de $O$ en el que se puede introducir un elemento de $V$ en una ranura de operaciones, y conectar elementos de $A$ en otras ranuras. Para escribir los axiomas del módulo, tomemos las identidades definitorias de $O$ y formar nuevas identidades, marcando un elemento allí de todas las formas posibles; ahora tratar los elementos no marcados como elementos de $A$ y los elementos marcados como pertenecientes a $V$ .

Por ejemplo, para las álgebras asociativas la identidad original es $(ab)c=a(bc)$ lo que nos lleva a la siguiente definición. Una estructura de módulo se define mediante dos operaciones, $a,v\mapsto av$ y $a,v\mapsto va$ que satisfacen las identidades $(ab)v=a(bv)$ , $(av)b=a(vb)$ , $(va)b=v(ab)$ . Esto significa que en el caso de las álgebras asociativas definimos bimódulos. Además, para las álgebras de Lie obtenemos la estructura de módulo que, como es inmediato comprobar, coincide con la estructura de módulo/representación habitual. En general, esta construcción proporciona un "álgebra envolvente" razonable para su álgebra no asociativa. Por tanto, una forma de abordar tu pregunta es estudiar las representaciones del álgebra envolvente, y a veces es lo mejor que puedes conseguir.

Answer 3

Empecemos por observar que para definir una "acción no asociativa", en realidad no necesitamos un magma; basta con un simple conjunto.

Definición 0. Siempre que $S$ es un conjunto, una representación de $S$ , también conocido como $S$ -Algebra unitaria, consiste en un conjunto, llámalo $X$ junto con una función $S \times X \rightarrow X,$ denotado $a,x \mapsto ax$ .

Una convención: la notación $abx$ significa $a(bx)$ la notación $abcx$ significa $a(b(cx))$ etc.

Por ejemplo:

• a $0$ -El álgebra unitaria es básicamente un conjunto.
• a $1$ -El álgebra unitaria es básicamente un conjunto $X$ equipado con una función $f:X \rightarrow X$ . En la literatura, se denominan álgebras mononarias .
• a $2$ -El álgebra unitaria es básicamente un conjunto $X$ equipado con un par de funciones $f,g:X \rightarrow X$ . En la literatura, se denominan álgebras biunarias.
• etc.

Debe quedar claro que $S$ -Las álgebras unitarias son omnipresentes; por ejemplo, cada vez que tenemos un conjunto $X$ junto con un auto-mapa $f:X \rightarrow X$ , la pareja $(X,f)$ es un $1$ -álgebra unitaria. Un ejemplo famoso: la Conjetura de Collatz es una afirmación sobre el $1$ -álgebra unitaria $(\mathbb{N},\xi)$ , donde $\xi$ es la función de Collatz.

Definición 1. Siempre que $S$ es un conjunto, escribe $S_*$ para el $S$ -álgebra unitaria generada libremente por $\{1\}$ . Los elementos de $S_*$ se llaman palabras en $S$ .

Todos conocemos el punto de vista "simétrico" sobre $S_*$ en el que lo vemos como un monoide denotado $S^*$ . En particular, es el monoide libre sobre $S$ . De hecho, el punto de vista "asimétrico" en el que se ve como un $S$ -El álgebra unitaria también es bastante importante; esto equivale básicamente a adoptar un punto de vista arbóreo. Por ejemplo, aquí hay una representación de $\{f,g\}_*$ :

Recopilemos ahora los principales datos sobre $S_*$ :

Teorema 0. Postulados de Peano generalizados. Dejemos que $S$ denotan un conjunto. Entonces:

1. Para todos $a \in S$ y todos $x,y \in S_*$ tenemos $ax = ay \rightarrow x=y.$
2. Para todos $a \in S$ y todos $x \in S_*$ tenemos $ax = 1 \rightarrow \bot$
3. Para todos $a,b \in S$ y todos $x \in S_*$ tenemos $ax = by \rightarrow a=b.$
4. (Axioma de la inducción.) El único $S$ -subálgebra unitaria de $S_*$ que contiene $1$ es $S_*$ sí mismo.

Además, los hechos anteriores caracterizan $S_*$ entre todos $S$ -algebras unitarias.

Muy bien. Define eso $\mathbb{N}$ es el $\{s\}$ -álgebra unitaria generada libremente por $\{0\}$ . Así que básicamente, $\mathbb{N}$ es sólo $\{s\}_*$ con un ligero cambio en la notación. $$\mathbb{N} = \{0,s0,ss0,sss0,\ldots\}$$

Observando que la condición 3 se trivializa cuando $S =\{s\}$ tiene un solo elemento, esencialmente redescubrimos los axiomas originales de Peano para $\mathbb{N}$ .

Teorema 1. Postulados de Peano para \mathbb {N}.

1. Para todos $x,y \in \mathbb{N}$ tenemos $sx = sy \rightarrow x=y.$
2. Para todos $x \in \mathbb{N}$ tenemos $sx = 0 \rightarrow \bot$
3. (Axioma de la inducción.) La única subálgebra mononaria de $\mathbb{N}$ que contiene $0$ es $\mathbb{N}$ sí mismo.

Además, los hechos anteriores caracterizan $\mathbb{N}$ entre todas las álgebras mononarias.

Así que yo diría que las acciones no asociativas son bastante importantes.

Por otro lado, son (en cierto sentido) innecesarios:

Teorema 2. Un $S$ -el álgebra unitaria es lo mismo que un $S^*$ -set, es decir, un conjunto $X$ equipado con una acción (asociativa) del monoide $S^*$ .

Una aplicación es que estas ideas dan una definición realmente hábil del término "árbol planar". En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $M$ es un monoide y $X$ es un $M$ -entonces los subconjuntos cerrados de $X$ siempre forman una topología de Alexandroff (a diferencia de un mero sistema de cierre). Ergo, dado que un $S$ -El álgebra unitaria es sólo un $S^*$ -por lo que sus subconjuntos cerrados forman automáticamente una topología de Alexandroff. Esto significa, en particular, que $S_*$ es automáticamente un espacio de Alexandroff.

Definición 3. Un $S$ -es un subconjunto abierto de $S_*$ .

Por supuesto, los espacios de Alexandroff son lo mismo que los preórdenes; bajo esta traducción, "subconjunto abierto" significa lo mismo que "subconjunto bajo". Así que podríamos definir igualmente que un $S$ -es un conjunto inferior de $S_*$ .

Answer 4

Siguiendo el ejemplo de las álgebras de Lie se podría intentar considerar algo así como el álgebra envolvente. En el caso de Lie, una representación de $g$ es sólo una representación habitual de $U(g)$ así que tal vez aquí se pueda hacer la misma construcción.

Answer 5

En el caso de los monoides (que son asociativos), el teorema de Krohn-Rhodes ofrece un potente resultado de descomposición: todo monoide finito es un cociente de un submonoide de un producto de corona alterna de grupos y monoides finitos. Google sugiere que Joel Wanderwerf puede haber generalizado este teorema a álgebras arbitrarias en un artículo de 1996 para la revista Semigroup Forum pero no tengo acceso a esta revista de Springer, así que no puedo asegurarlo.