Si $X$ es geométrico $(\alpha/(n+\alpha))$ entonces demuestre que $X/n$ tiene CGF $(s/n)- \log(1+(1-e^{s/n})n/\alpha) $ utilizando el MGF

Question

Pregunta

Dejemos que $p = \frac{\alpha}{n + \alpha} $ es decir $X \sim$ Geometría $(p)$ donde $X \geq 1$ y $0 < p < 1$ . X tiene una función generadora de probabilidad de $P_X(s) = \frac{ps}{(1-(1-p)s)}$ . Sea una variable aleatoria $Y \sim $ Exponencial $(\alpha)$ donde $Y > 0$ y $\alpha > 0$ . $Y$ tiene una función generadora de momentos dada por $m_y(s) = \frac{\alpha}{\alpha - s}$ para $s < a$

(i) Sea $p = \frac{\alpha}{(n + \alpha)}$ es decir $X \sim $ Geometría $(\frac{\alpha}{n + \alpha})$ donde $n$ es una constante positiva. Demuestre que la función generadora del cumulante de $W = \frac{X}{n}$ está dada por: $$\dfrac{s}{n} - \text{log}(1+ \dfrac{n}{\alpha}\Big(1-e^{\dfrac{s}{n}}\Big))$$

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Intento

Sé que para encontrar el cgf de algún mgf hay que tomar el registro del mismo. Tengo dificultades con el proceso que implica hacer esto.

Por lo tanto, X tiene un pgf de $P_X(s) = \frac{ps}{(1-(1-p)s)}$ , me subo a $p = \frac{\alpha}{(n + \alpha)}$ para conseguir $\dfrac{\frac{\alpha}{(n + \alpha)}s}{(1-(1-\frac{\alpha}{(n + \alpha)})s)}$ mientras que la pregunta dice; encontrar el cgf de la forma $W=\frac{X}{n}$ . ¿Se convierte mi función en: $$\text{log}\Bigg[\dfrac{\frac{\alpha}{(n + \alpha)}s}{(1-(1-\frac{\alpha}{(n + \alpha)})s)}\Bigg] / n$$

Que luego resolvería hasta el cgf dado en la pregunta? No consigo que sea igual al cgf requerido.

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Gracias

Answer 1

Sustituyendo $X \sim $ Geo $\Big(\dfrac{\alpha}{n + \alpha})$ en $P_X(s) = \dfrac{\alpha s }{n + \alpha - ns}$ el mgf es $m_x(s) = \dfrac{\alpha e^s}{n+\alpha-ne^s}$

\begin{align} \log m_X(s) &= \log\alpha + s - \log(n + \alpha - ne^s) \\[5px] & = \log\alpha + s - \log(\alpha + n(1-e^s))\\[1px] & = \log \alpha + s - \log(\alpha(1+\frac{n}{\alpha}(1-e^s))) \\[1px] & = s - \log(1 + \frac{n}{\alpha}(1-e^s))\\[1px] & = s - \log(1+\dfrac{n}{\alpha}(1-e^s))\\ \end{align}

Dejemos que $W = \dfrac{X}{n}$ por lo tanto tenemos $\log m_w(s) = \log m_x(\dfrac{s}{n})$ que da el cgf deseado: $$\dfrac{s}{n} - \log(1+\dfrac{n}{\alpha}(1-e^{\dfrac{s}{n}})$$