caracterización de la existencia de la expectativa de orden superior.

Question

Considere un r.v. no negativo $X$ y fijar un número entero positivo $n$ Intento demostrar que una condición necesaria y suficiente para la $n$ La expectativa de orden que existe es que $\sum_{i\in\mathbb{N}}i^{n-1}P(X\ge i)$ converge.

Intento: Tenemos una relación bien establecida, $\sum_i P(X\ge i)\le EX < 1+\sum_iP(X \ge i)$ Estoy convencido de que esto se utiliza, pero no estoy seguro de cómo incorporar $i^{n-1}$ . Si consideramos una partición de la recta real dada por $A_i=\{i-1\le X < i\}$ y luego dejar elegir $X_i=(i-1)I_{A_i}$ entonces la serie es una v.r. discreta con $E(\sum_i X_i)=\sum iP(X\ge i)$ que es similar a la forma que necesitamos. Pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

La forma más rápida es utilizar el teorema de Tonelli para demostrar $$ \mathbb{E}X^n=n\int_0^\infty x^{n-1}\mathbb{P}(X\geq x)\,\mathrm{d}x\tag1 $$ y luego el sándwich con $\lfloor x\rfloor^{n-1}\leq x^{n-1}\leq 1+2^{n-1}\lfloor x\rfloor^{n-1}$ .

Editar (sin mucha teoría de la medida)

Si conoces la fórmula $$ \mathbb{E}Y=\int_0^\infty\mathbb{P}(Y\geq y)\,\mathrm{d}y=\int_0^\infty\mathbb{P}(Y>y)\,\mathrm{d}y $$ para una variable aleatoria no negativa $Y$ (algunos autores se refieren a esto como el principio de Cavalieri), entonces se puede deducir (1) por $$ \mathbb{E}X^n=\int_0^\infty\mathbb{P}(X^n\geq y)\,\mathrm{d}y $$ y sustituyendo $y=x^n$ , $\mathrm{d}y=nx^{n-1}\,\mathrm{d}x$ , señalando $X^n\geq x^n\iff X\geq x$ .

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para cualquier $n \in \mathbb{N}$ tenemos

$$\sharp \{i \in \mathbb{N}; k^n \leq i < (k+1)^n\} \sim k^{n-1}$$

es decir, existen constantes $c_1,c_2>0$ (dependiendo de $n$ ) tal que

$$c_1 k^{n-1} \leq \sharp \{i \in \mathbb{N}; k^n \leq i < (k+1)^n\} \leq c_2 k^{n-1} \tag{1}$$

para todos $k \geq 1$ . Ahora bien, si $X$ es una variable aleatoria no negativa, entonces podemos escribir

$$\sum_{i \geq 1} \mathbb{P}(X^n \geq i) = \sum_{k =1}^{\infty} \sum_{k^n \leq i < (k+1)^n} \mathbb{P}(X^n \geq i). \tag{2}$$

Como $\mathbb{P}(X^n \geq i)$ está disminuyendo en $i$ tenemos

$$\mathbb{P}(X^n \geq i) \leq \mathbb{P}(X^n \geq k^n) \qquad \text{for all $ k^n \N - i < (k+1)^n $}$$

y así

$$\begin{align*}\sum_{i \geq 1} \mathbb{P}(X^n \geq i) &\leq \sum_{k \geq 1} \bigg( \mathbb{P}(X^n \geq k^n) \underbrace{\sum_{k^n \leq i < (k+1)^n} 1}_{\stackrel{(1)}{\leq} c_2 k^{n-1}} \bigg) \\ &\leq c_2 \sum_{k \geq 1} k^{n-1} \mathbb{P}(X \geq k). \tag{3} \end{align*}$$

Del mismo modo, encontramos de

$$\mathbb{P}(X^n \geq i) \geq \mathbb{P}(X^n \geq (k+1)^n) \qquad \text{for all $ k^n \N - i < (k+1)^n $}$$

que

$$\sum_{i \geq 1} \mathbb{P}(X^n \geq i) \geq c_1 \sum_{k \geq 1} k^{n-1} \mathbb{P}(X \geq k+1).$$

En consecuencia, hemos demostrado que $\sum_{i \geq 1} \mathbb{P}(X^n \geq i)$ es comparable con $\sum_{k \geq 0} k^{n-1} \mathbb{P}(X \geq k+1)$ . Como ya sabe que $X^n$ tiene una expectativa finita si la serie $\sum_{i \geq 1} \mathbb{P}(X^n \geq i)$ converge, esto demuestra la afirmación.