El formalismo de Tannaka y el grupo fundamental étale

Question

Desde hace tiempo, me pregunto si existe un principio/teoría general que haya tanto los grupos fundamentales de Tannaka como los grupos fundamentales de étale como un caso especial.

Para elaborar: La teoría del grupo fundamental étale (más generalmente de las categorías de Galois de Grothendieck a partir de SGA1, o de forma similar de las grupo fundamental de un topos ) funciona así: Tomemos un functor valorado por el conjunto de la categoría de coberturas finitas de un esquema que satisfaga ciertos axiomas. de un esquema que satisface ciertos axiomas, y que $\pi_1$ sea su grupo de automorfismo y se obtendrá una equivalencia de categorías ( (pro-)coberturas étale) <-> ( (pro-)cont. $\pi_1$ -sets).

El formalismo de Tannaka es el siguiente: Tome un $k$ -categoría tensorial abeliana lineal $\mathbb{T}$ que satisfacen ciertos axiomas (por ejemplo, la categoría de dim. finita $k$ -representaciones de un grupo abstracto), y un $k$ -Espacio vectorial functor tensorial valorado $F$ (la categoría con este functor se denomina entonces tannakiana neutra), y sea $Aut$ sea su functor de tensor-automorfismo, es decir, el functor que asigna a un $k$ -Álgebra $R$ el conjunto de $R$ -tensor-automorfismos lineales $F(-)\otimes R$ . Este será, por supuesto por supuesto será un functor de valor de grupo, y la teoría dice que es representable por un esquema de grupo $\Pi_1$ , tal que existe una equivalencia tensorial de categorías $Rep_k(\Pi_1)\cong \mathbb{T}$ .

Ambas teorías "describen" bajo qué condiciones una determinada categoría es la categoría (tensorial) de representaciones de un esquema de grupos (considerando $\pi_1$ -como "representaciones sobre conjuntos" y $\pi_1$ como esquema de grupo constante). Por lo tanto, la pregunta:

¿Son ambas teorías casos especiales de algún concepto general? (Tal vez, inspirado en preguntas recientes, la primera teoría puede considerarse como un "formalismo Tannaka para $k=\mathbb{F}_1$ "? :-))

Answer 1

Además de que las teorías (grupo fundamental étale y formalismo tannakiano) sólo se parecen formalmente, existen resultados reales de comparación entre ciertos grupos fundamentales étale y tannakianos.

A saber: existe el esquema del grupo fundamental de Nori $\pi_1^N(S,s)$ , donde $S$ es un esquema propio e integral sobre un campo $k$ teniendo un $k$ -Punto racional. Se define como el grupo fundamental de alguna categoría tannakiana asociada a $S$ (para ser precisos: El completo $\otimes$ -de la categoría de las láminas localmente libres en $S$ abarcados por las gavillas esencialmente finitas). En el caso $k$ es algebraicamente cerrado, existe un morfismo de comparación canónico desde el grupo fundamental de Nori al grupo fundamental de Grothendieck, y si además $k$ es de característica cero este morfismo es un isomorfismo.

Un comentario más: El teorema clásico de dualidad de Tannaka-Krein para grupos topológicos compactos (véase, por ejemplo, Hewitt&Ross vol. II) debería ser, presumiblemente, otra realización de la generalización común que buscas.

Answer 2

Me he topado con esta pregunta tan antigua y tengo algunas observaciones que hacer, espero que no se consideren del todo inútiles después de todo este tiempo. Quiero destacar dos puntos.

1. Incluso si nos limitamos a los grupos profinitos, las categorías tannakianas contienen estrictamente más información que las categorías de Galois.

2. No hay (casi) ninguna razón para buscar un concepto más general que las categorías tannakianas.

Si $k$ no es separablemente cerrado, el grupo fundamental étale clásico debe no se piense como un esquema de grupo: la razón es que si queremos trabajar con esquemas de grupo sobre $k$ Todo debería ser relativa a la base $\text{Spec}~k$ mientras que el grupo fundamental étale clásico es absoluto . Por ejemplo, el único esquema de grupo fundamental razonable de $\text{Spec}~k$ es el trivial, mientras que el grupo fundamental étale es $\text{Gal}(k_s/k)$ .

Si se tiene un esquema de grupo $G$ la forma correcta de construir un grupo a partir de él es tomar $G(k_s)\rtimes\text{Gal}(k_s/k)$ El esquema del grupo contiene más información, ya que recuerda la proyección a $\text{Gal}(k_s/k)$ . Por cierto, un grupo profinito habitual no debe pensarse como un esquema de grupo constante: hay una forma natural de darle una estructura algebraica tal que la topología asociada es la profinita, no la discreta.

Limitémonos ahora a las categorías tannakianas cuyo grupo (o gerbo) asociado es profinito, ya que las categorías de Galois sólo pueden "ver" grupos profinitos. Por lo que hemos dicho anteriormente, incluso en este caso una categoría tannakiana contiene más información que una categoría de Galois: la categoría tannakiana determina una categoría de Galois más una subcategoría de Galois isomorfa a $\text{Ét}~k$ . La categoría de Galois asociada a una categoría tannakiana $T$ puede construirse tomando las coberturas étale del gerbo asociado a $T$ .

Como ya han dicho otros, se pueden comparar los dos conceptos si el campo base es algebraicamente cerrado. En este caso, las categorías de Galois y las categorías de Tannakian "profinitas" son esencialmente la misma cosa, es decir, las categorías de Tannakian generalizan las categorías de Galois.

Se podría intentar tomar categorías con funtores de fibra en otras categorías diferentes de $\text{Set}$ o $\text{Vect}_k$ . Pero la cuestión ahora es que no hay (casi) ninguna razón para hacer esto: si, al final, uno quiere obtener un esquema de grupos afines, las categorías tannakianas ya los detectan todos. Por lo tanto, uno puede tratar de hacer esto sólo para obtener grupos que no son afines.

Answer 3

Creo que la respuesta a su pregunta es precisamente el tema del artículo "The fundamental groupoid scheme and applications" de H. Esnault y P. H. Hai, Annales de l'Institut Fourier 2008, véase aquí . Cito la introducción, en la cuarta página : "El propósito de este artículo es reconciliar los dos puntos de vista"... La clave es el formalismo de Deligne de las categorías tannakianas no neutrales.