¿Existe una parametrización racional de las superficies cuádricas?

Question

¿Existe una parametrización racional de las superficies cuadráticas? En particular, quiero parametrizar el hiperboloide de una hoja $\frac{x^2}{b}+\frac{y^2}{4b}-\frac{z^2}{4b}=1$ donde $b$ es racional. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid ).

En el enlace anterior, dice que la sección plana del hiperboloide es cónica (o líneas) y podemos parametrizar las cónicas racionalmente. ¿Generará esto todas las soluciones racionales en mi hiperboloide? ¿Hay alguna buena referencia sobre este tema?

Answer 1

Ciertamente, esto siempre es posible. Una herramienta útil es la llamada sustitución de Weierstrass, $t\mapsto 2\arctan u$ . Esto se puede combinar con las relaciones trigonométricas habituales

$$\cos^2 t+\sin^2 t=1\; \longrightarrow \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2+\left(\frac{2u}{1+u^2}\right)^2=1$$

(también conocido como proyección estereográfica ); y

$$\sec^2 t-\tan^2 t=1\; \longrightarrow \left(\frac{1+u^2}{1-u^2}\right)^2-\left(\frac{2u}{1-u^2}\right)^2=1$$

para construir parametrizaciones racionales para superficies cuádricas. (Por cierto, la existencia de estas parametrizaciones racionales es también la razón por la que se pueden utilizar B-splines racionales no uniformes (NURBS) para representar superficies cuádricas).

Para el caso específico del hiperboloide de una hoja

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

tenemos la parametrización trigonométrica (¡prueba esto como ejercicio!):

$$\begin{align*} x&=a\cos \theta\sec \lambda\\ y&=b \sin \theta\sec \lambda\\ z&=c\tan \lambda \end{align*}$$

y utilizando la sustitución de Weierstrass en ella se obtiene

$$\begin{align*} x&=a\frac{(1-u^2)(1+v^2)}{(1+u^2)(1-v^2)}\\ y&=b\frac{2 u (1+v^2)}{(1+u^2)(1-v^2)}\\ z&=c\frac{2 v}{1-v^2} \end{align*}$$

Se pueden utilizar construcciones similares para otras cuádricas.

Answer 2

Para obtener su parametrización primero demostraría que el hiperboloide de una hoja es un variedad racional lo que significa que es bianualmente equivalente a $\mathbb{P}^2$ . Luego, en el segundo paso, modificamos el mapa racional $\psi:\mathbb{P}^2\dashrightarrow\mathbf{V}(P_{h})$ para convertirse en nuestra parametrización deseada.

Homogeneizar la función polinómica. Ten en cuenta que obtendrás una variedad proyectiva en $\mathbb{P}^3$ representado por el cero del siguiente polinomio:

$$P_{h} := -{\frac {4\,{w}^{2}b-4\,{x}^{2}-{y}^{2}+{z}^{2}}{4\,b}}$$

Entonces considere el mapa

$$\phi: U\subset \mathbf{V}\left(P_{h}\right) \dashrightarrow \mathbb{P}^2\\ (x:y:z:w) \mapsto (x:y-z:w) $$ donde $U = \mathbf{V}(P_{h})\setminus\{\left( 0:1:1:0 \right)\}$ . Esto da un mapa racional de nuestra cuádrica a $\mathbb{P}^2$ (geométricamente esto es muy similar a la idea de parametrización de un círculo utilizando un lápiz de líneas).

Ahora, al nombrar $$ X = x\\‎ Y = y-z\\ W = w $$ y resolviendo las ecuaciones anteriores para $x$ , $y$ y $w$ y sustituyéndolos en $P_h$ obtenemos $z$ . En consecuencia, esto da el mapa racional:

$$ \psi : U^{\prime}\subset \mathbb{P}^2 \dashrightarrow \mathbf{V}\left(P_{h}\right)\\ (X:Y:W) \mapsto \left( X : -{\frac {4\,{X}^{2}-{Y}^{2}-4\,W^2\,b}{2\,Y}}:-{\frac {4\,{X}^{2}+{Y}^{2}-4\,W^2\,b}{2\,Y}}:W\right) $$ donde $U^{\prime} = \mathbb{P}^2\setminus\mathbf{V}(Y)$ . El resto es fácil de comprobar que $\psi$ y $\phi$ dan la equivalencia birracional de $\mathbf{V}(P_{h})$ y $\mathbb{P}^2$ . Finalmente una buena forma de obtener nuestra parametrización racional que buscamos es poner $W = 1$ . Por lo tanto, la parametrización final podría escribirse como

$$ x = X\\ y = -{\frac {4\,{X}^{2}-{Y}^{2}-4\,b}{2\,Y}}\\ z = -{\frac {4\,{X}^{2}+{Y}^{2}-4\,b}{2\,Y}} $$

Obsérvese que para una parametrización de este tipo se puede tomar todo menos el $Y = 0$ . Por último, podría ser útil echar un vistazo al resultado visual de nuestra parametrización. Aquí proporcioné la imagen para $b = 1/2$ . El holograma azul del hiperboloide se crea utilizando su función implícita, mientras que las porciones "más precisas" del mismo se producen utilizando nuestra parametrización racional para $X \in [-2,2]$ y $Y \in [-18, -0.8] \cup [0.8, 18]$ .

(para una parametrización no racional de los hiperboloides de una hoja, véase Hiperboloide-Wikipedia ).