Hace un tiempo fui testigo de una máquina que consistía en una masa que colgaba de un débil resorte. Se podía tirar un poco hacia abajo y retorcer el muelle también (estilo péndulo de torsión) y oscilaba entre 2 modos: subiendo y bajando y actuando como un péndulo de torsión (la energía va y viene). A una determinada energía inicial, cada modo tiene una determinada energía que no cambia con el tiempo. ¿Cómo funciona esto (es decir, qué ecuaciones lo rigen)? Tengo la sensación de que la constante del muelle k depende un poco de la torsión del muelle, pero no estoy seguro.
Respuesta
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La energía de un muelle que obedece a la ley de Hooke es $E=\frac{1}{2}kx^2$ , donde $x$ es el desplazamiento del muelle. Para un sistema de muchos resortes que no se transfieren energía entre sí, la energía es $E=\frac{1}{2}(k_1 x^2_1+...+k_n x^2_n)$ . Para obtener el modelo más sencillo de interacción entre muelles, añada algún polinomio (posiblemente de orden superior a $2$ ) en las variables $x$ a la fórmula de la energía. Si se mezclan términos como $gx_1x_2$ ou $gx_1x_2^2$ se introducen, provocarán la transferencia de energía entre los diferentes resortes del sistema. Analicemos lo que pueden hacer los diferentes términos.
Primero considere el término de orden cero - adición de la constante a la fórmula de la energía. Esto no cambia nada porque sólo importan las diferencias de energía. Por lo tanto, esto es inmaterial.
Si se añade un término lineal como $gx$ entonces sólo cambiará la posición de equilibrio del sistema. Para ver esto basta con observar que $\frac{1}{2}kx^2+gx = \frac{1}{2}k(x+\frac{g}{k})^2 - \frac{g^2}{2k}$ por lo que este sistema tiene la misma dinámica que el anterior pero con $x$ sustituida por la variable $x+\frac{g}{k}$ . Así que la posición de equilibrio se desplaza a $- \frac{g}{k}$ .
Términos cuadráticos como $gx_1x_2$ introducirá una acción realmente nueva y puede utilizarse para modelar el acoplamiento entre diferentes resortes. Si se añade dicho término, los modos propios del sistema cambiarán y ambos modos propios implicarán oscilaciones de ambos muelles. Por lo tanto, si se perturba inicialmente sólo uno de los resortes, se observará que el segundo comenzará a moverse. Esto se debe a que la configuración inicial (sólo un muelle en movimiento) es necesariamente una mezcla de ambos modos propios.
Si desea modelar fenómenos más interesantes, como la dependencia de un resorte $k$ en el desplazamiento de otros muelles se necesitan términos de orden superior. Por ejemplo, un término de la forma $\frac{1}{2}gx_1x_2^2$ con $g$ pequeño puede interpretarse diciendo que la segunda constante del muelle depende del desplazamiento del primer muelle y de hecho es igual a $k_2+gx_1$ . Los sistemas con interacciones cúbicas y de orden superior son no lineales y, por tanto, la noción de modos propios pierde sentido. Si en la primera aproximación se desprecian los términos de orden superior y luego se reintroducen con técnicas perturbadoras se verá que el efecto de las no linealidades es transferir la energía entre los diferentes modos del sistema linealizado.
Observación: Si no entiendes algunas de las matemáticas de este post (por ejemplo, los modos propios), entonces necesitas estudiar la física de los sistemas lineales, como los osciladores armónicos. Esto se explica en muchos libros de introducción a la mecánica clásica. Probablemente también en libros básicos sobre ecuaciones diferenciales.
