Subgrupos de $\mathrm{PSL}(2,q)$ de orden $2q$

Question

Dejemos que $q\equiv 1\pmod 4$ . ¿Es cierto que $\mathrm{PSL}(2,q)$ tiene una única clase de subgrupos conjugados de orden $2q$ ?

He mirado las referencias que aparecen en esta pregunta del modus operandi La única referencia relevante es la de Oliver King notas donde cita la clasificación dada en el libro de Dickson. El teorema de la clasificación tiene $22$ elementos (elementos (a) a (v)), y parece que el único elemento en el que un subgrupo de orden $2q$ puede aparecer es el punto (m), pero la descripción de ese punto es muy misteriosa:

(m) un número de clases de grupos conjugados de orden $q_0d$ para cada divisor $q_0$ de $q$ y para ciertos $d$ en función de $q_0$ , todas ellas situadas dentro de un grupo de orden $q(q 1)/2$ para $q$ impar y $q(q 1)$ para $q$ incluso;

Utilizando GAP he comprobado todos los $q$ hasta $100$ y en estos casos existe una única clase de conjugación de subgrupos de orden $2q$ , isomorfo a $D_{2q}$ cuando $q$ es primo; e isomorfo a $(C_p)^e\rtimes C_2$ cuando $q=p^e$ . ¿Es esto un hecho general? Si es así, ¿existe una buena interpretación de este subgrupo, como el estabilizador en $\mathrm{PSL}(2,q)$ de algo?

Answer 1

Sí, es cierto. Deja que $B$ denota el normalizador de un Sylow $p$ -subgrupo de $G = {\rm PSL}(2,q)$ , donde $q = p^{a}$ para el impar prime $p.$ Entonces $B$ puede tomarse como la imagen (mod $\pm I$ del grupo de matrices triangulares superiores de determinante $1.$ Dejemos que $M$ sea un subgrupo de $G$ de orden $2q$ . Entonces $M$ tiene una normalidad $2$ -complemento, que es un Sylow $p$ -subgrupo de $G.$ Dado que sólo nos preocupa $M$ hasta la conjugación, podemos suponer que $U$ es un Sylow común $p$ -subgrupo de $B$ y $M.$ Tenga en cuenta que esto coloca $M$ dentro de $B$ como $U \lhd M.$ Ahora un complemento de $U$ en $B$ es la imagen de las matrices diagonales de determinante $1,$ que es cíclico. Ahora $B/U$ al ser cíclico, tiene un único subgrupo de orden $2$ . Por lo tanto, $B$ tiene un único subgrupo de orden $2|U|$ por los teoremas de isomorfismo. Por lo tanto, esto debe ser $M.$ En otras palabras, en general, todo subgrupo de $G$ de orden $2|U|$ es $G$ -conjugado al único subgrupo de $B$ de orden $2|U|$ . Es la imagen (mod escalares) del grupo de matrices triangulares superiores de determinante $1$ con (no necesariamente) primitivos $4$ -raíces de la unidad en la diagonal.