¿Cuándo podemos decir que dos matrices tienen la misma forma de Jordan?

Question

¿Cuándo podemos decir que dos matrices tienen la misma forma de Jordan?

Bueno, es obvio que si son similares entonces tienen la misma forma de Jordan, pero ¿podemos mirar más allá?

¿Y si tienen los mismos valores propios? Eso tampoco es suficiente porque $\begin{bmatrix}0 & 1\\0&0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0 & 0\\0&0\end{bmatrix}$ tienen los mismos valores pero no son similares y por lo tanto no tienen la misma forma de Jordan.

No encuentro un ejemplo en el que dos matrices tengan la misma ecuación característica y el mismo polinomio mínimo y, sin embargo, no sean similares, pero soy incapaz de demostrarlo.

¿Es suficiente con tener la misma multiplicidad algebraica y geométrica?

No estoy buscando la condición mínima en la que dos matrices tienen la misma forma de Jordan

Answer 1

No, no hay ninguna condición más débil, y de hecho esta es la propósito de la forma normal de Jordan: Sobre un campo algebraicamente cerrado $\Bbb F$ dos matrices son similares si tienen la misma forma de Jordan (hasta la permutación de los bloques de Jordan).

Ninguna de las otras condiciones mencionadas en la pregunta resulta ser suficiente, al menos no para matrices de tamaño general.

Dejemos que $J_m(\lambda)$ denotan el $m \times m$ Bloque de Jordan de valor propio $\lambda$ .

Entonces, $$J_2(\lambda) \oplus J_2(\lambda) \qquad \textrm{and} \qquad J_2(\lambda) \oplus J_1(\lambda) \oplus J_1(\lambda)$$ ambos tienen el polinomio característico $(t - \lambda)^4$ y el polinomio mínimo $(t - \lambda)^2$ .

Asimismo, en ambos $$J_3(\lambda) \oplus J_1(\lambda) \qquad \textrm{and} \qquad J_2(\lambda) \oplus J_2(\lambda) ,$$ el único valor propio $\lambda$ tiene multiplicidad geométrica $4$ y la multiplicidad algebraica $2$ .

Estos ejemplos son mínimos en el sentido de que ambas condiciones son suficiente para $n \times n$ matrices, $n \leq 3$ .

Answer 2

Una pista:

Si tienen la misma forma Jordan, significa lo siguiente:

$$M_1 = {S_1}^{-1}JS_1$$ $$M_2 = {S_2}^{-1}JS_2$$

¿Qué podemos deducir de ello?

Answer 3

Dos matrices tienen la misma forma de Jordan si y sólo si son similares.

Nótese que el mismo polinomio mínimo y el mismo polinomio característico no implican que las matrices sean similares.

Para investigar esto, basta con considerar las matrices nilpotentes. Sea $n$ sea la dimensión/tamaño de la matriz.

Entonces el polinomio característico será $x^n$ . Por lo tanto, el polinomio característico no le dará ninguna información.

Dejemos que $d_j = \dim \operatorname{ker} A^j$ . Tenemos $0=d_0 < d_1 < d_2 < \dotsb < d_m = n$ .

Entonces el polinomio mínimo será $x^m$ . Así, el polinomio mínimo le dirá en qué punto el núcleo será todo.

Pero a partir de la forma de Jordan, se pueden calcular todas $d_j$ . Por lo tanto, la forma de Jordan le dará más información que el polinomio mínimo y el polinomio característico.

Por ejemplo, puedes realizar las siguientes secuencias con matrices 4x4:

$0 < 2 < 4$ y $0 < 3<4$

En ambos casos, el polinomio mínimo será $x^2$ pero la primera matriz (su forma de Jordan) tendrá dos bloques de tamaño 2, mientras que la segunda matriz tendrá 2 bloques de tamaño 1 y un bloque de tamaño 2.

Answer 4

Supongamos para simplificar que dos $n$ -por- $n$ matrices $A$ y $B$ tienen sólo un valor propio $\lambda$ (con la suposición adicional de que el campo es algebraicamente cerrado). Entonces, $A$ y $B$ son similares si y sólo si $\dim\ker\big((A-\lambda I)^k\big)=\dim\ker\big((B-\lambda I)^k\big)$ para todos $k=1,2,3,\ldots,n$ .

En el caso $A$ y $B$ tienen más de un valor propio, se puede restringir $A$ y $B$ en sus espacios propios generalizados correspondientes al mismo valor propio $\lambda$ . Entonces, utiliza el párrafo anterior para comprobarlo. Sin embargo, no creo que este método sea más fácil que calcular las formas normales de Jordan de $A$ y $B$ directamente.