producto de copa en el anillo de cohomología de una suspensión

Question

Dejemos que $X$ sea un complejo CW. Sea $\Sigma$ sea la suspensión. Sea $R$ sea un anillo conmutativo. ¿Es el producto taza de $$H^*(\Sigma X;R)$$ ¿Trivial? ¿Cómo se demuestra? ¿Dónde puedo encontrar el resultado?

Answer 1

Sí. En realidad hay un resultado más general. Si $X=\bigcup_{i=1}^n A_i$ donde cada subespacio $A_i$ es contraíble, entonces el producto de cualquier $n$ elementos en $H^*(X)$ desaparece. Como $\Sigma X$ es la unión de dos conos, cada uno de los cuales es contráctil, el resultado es el siguiente.

Para establecer el resultado general, basta con observar que $H^*(X)\cong H^*(X, A_i)$ como $A_i$ es contractible, y existe un mapa del producto taza $$\begin{eqnarray}H^*(X, A_1)\times \cdots \times H^*(X, A_n)\to H^*(X, \bigcup_{i=1}^n A_i)=H^*(X, X)=0\end{eqnarray}$$

Answer 2

La respuesta depende de la teoría de la homología que se utilice. La afirmación falla para cohomología singular . Sin embargo, hay una manera bastante fácil de demostrar que el producto de la copa es trivial en cohomología reducida $\tilde{H}{\,}^\bullet(\Sigma X)=H^\bullet(\Sigma X,\text{pt})$ .

Escribe $\Sigma X=\text{Cone}_+(X)\cup\text{Cone}_-(X)$ y que $\iota:\text{pt}\longrightarrow\text{Cone}(X)$ sea el mapa de inclusión. Obtenemos el siguiente diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} H^p(\Sigma X,\text{pt})\otimes H^q(\Sigma X,\text{pt}) @>{\smile}>> H^{p+q}(\Sigma X,\text{pt})\\ @A{H^p(\iota)\otimes H^q(\iota)}AA @AA{H^{p+q}(\iota)}A\\ H^p(\Sigma X,\text{Cone}_+(X))\otimes H^q(\Sigma X,\text{Cone}_-(X)) @>>{\smile}> H^{p+q}(\Sigma X,\Sigma X) \end{CD}$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $H^\bullet(\iota):H^\bullet(\Sigma X,\text{Cone}(X))\longrightarrow H^\bullet(\Sigma X,\text{pt})$ es un isomorfismo porque $\text{Cone}(X)$ es contraíble. Por lo tanto, hemos encontrado una factorización de $a\smile b=H^{p+q}(\iota)\left(H^p(\iota)^{-1}(a)\smile H^q(\iota)^{-1}(b)\right)$ en $H^{p+q}(\Sigma X,\Sigma X)\cong0$ Por lo tanto $a\smile b=0$ para cualquier $a\otimes b\in H^p(\Sigma X,\text{pt})\otimes H^q(\Sigma X,\text{pt})$ .