Si $M/N_1, M/N_2$ son noetherianos entonces $M/(N_1∩N_2)$ es noetheriano.

Question

El problema: Dejemos que $R$ sea un anillo comutativo y $M$ ser un $R$ -módulo. Sea $N_1$ y $N_2$ sean submódulos de $M$ . Si $M/N_1, M/N_2$ son Noetherianos entonces $M/(N_1N_2)$ es noetheriano.

Solución: Tomemos $M/N_1, M/N_2$ sea noetheriano y $N:=N_1+N_2$ .

Dejemos que $S_1S_2M/N$ sea una cadena de submódulos. Definamos

$A_i:=\{m+N_1:m+NS_i\}$ para cada $i$ . Entonces $A_i$ es un submódulo de $M/N_1$ . Si $m+N_1A_i$ entonces $m+N S_i S_{i+1} \implies m+N_1 A_{i+1}$ .

Ahora, $A_1 A_2 ... M/N_1$ es una cadena de submódulos. Siguiente, $M/N_1$ es noetheriano, por lo que para cada $a$ con $a i k $ tenemos $A_i = A_k.$ Así que para cada $a$ con $aik$ tenemos $$S_i = \{ m+N: m+N_1 A_i \} = \{ m+N : m+N_1 A_k \} = S_k.$$

Ahora $A_j:=\{ m+N_2 : m+N S_j \}$ para cada $j$ y $A_j$ es un submódulo de $M/N_2$ . Si $m+N_2 A_j$ entonces $m+N S_j S_{j+1} \implies m+N_2 A_{j+1}$ .

$A_1 A_2 ... M/N_2$ es una cadena de submódulos. $M/N_2$ es noetheriano por lo que para cada $a$ con $a j h$ tenemos $A_j = A_h$ . Por lo tanto, para cada $a$ con $a j h$ obtenemos $$S_j = \{ m+N : m+N_2 A_j \} = \{ m+N : m+N_2 A_h \} = S_h.$$

Por lo tanto, $M/N := M/(N_1+N_2)$ es noetheriano. $N_1 N_2 N_1+N_2$ Así que $M/(N_1N_2)$ es noetheriano.

¿Está todo bien en mi solución? Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Sugiero otra forma de enfocar este problema, porque no me gustan demasiado los malabares con los índices. Tenga en cuenta también que no necesitamos que $R$ es un anillo conmutativo.

Definir el $R$ -mapa lineal $$\psi: M\to M/N_1 \oplus M/N_2: m\mapsto (m + N_1, m + N_2).$$ Entonces $\ker \psi = N_1 \cap N_2$ y por el primer teorema de isomorfismo $$M/(N_1 \cap N_2) \cong \operatorname{Im}(\psi). \quad (*)$$

Por supuesto, $M/N_1$ y $M/N_2$ son noetherianos, por lo que su suma directa $M/N_1 \oplus M/N_2$ también es noetheriano. Por lo tanto, $\operatorname{Im}(\psi)$ es noetheriano, como submódulo de un módulo noetheriano. En vista del isomorfismo $(*)$ se deduce que $M/(N_1 \cap N_2)$ es noetheriano.