Encontrar el término general de esta secuencia $u_{n+1}+u_n=n$

Question

Hay que encontrar el término general de la secuencia $u_n$ definido como tal :

Por cada $n\in\Bbb N$ con $u_0=0$ $$u_{n+1}+u_n=n$$

Contexto : métodos telescópicos, matemáticas de bachillerato

Answer 1

Una pista:

Escriba también $$u_{n}+u_{n-1}=n-1$$

entonces $$u_{n+1}-u_{n-1}=1$$

Ahora haz el telescopio.

Answer 2

Si bien es posible la telescópica con un poco de ingenio - véase Aqua Hay otros enfoques viables. Rara vez está de más reunir algunos datos numéricos calculando algunos términos de la secuencia. Aquí tenemos:

$$\begin{array}{rcc} n:&0&1&2&3&4&5&6&7\\ u_n:&0&0&1&1&2&2&3&3 \end{array}$$

Hay un patrón bastante claro aquí que puede ser fácilmente demostrado por inducción en $n$ .