Cálculo del valor ajustado para la primera observación de una serie temporal

Question

Dados los coeficientes de un modelo arima, ¿cómo se calcula el "valor ajustado" para la primera observación de la serie?

Por ejemplo, dados los datos (llamados xshort):

y una llamada a R:

mod<-Arima(xshort,order=c(1,0,0))
mod$coef

es sencillo producir los valores ajustados. Por ejemplo, la segunda entrada de la serie es: mod$coef[1]*xshort[1]+((1-mod$coef[1])*mod$coef[2])

Pero, ¿cómo se calcula el primer valor ajustado, que desde Arima debería ser 1038.3884776139 ?

Answer 1

El problema no se limita a la primera observación. Tomemos un proceso AR de orden p. Sólo la p+1ª observación puede expresarse como la función estimada de los p valores anteriores. Para los valores iniciales se necesita un conjunto de valores estimados por el modelo como ocurridos antes de la primera observación. Esto se hace ajustando la serie y luego prediciendo hacia atrás. Box y Jenkins llaman a esto backcasting. Así que para el proceso AR(p) es necesario generar p valores iniciales antes de X1. A continuación, puede utilizar estos valores iniciales y el modelo para ajustar las primeras p-1 observaciones.