Bifurcaciones en un sistema dinámico unidimensional, con dos parámetros

Question

Me dan el siguiente sistema dinámico:

$x'= -(x^3/(1+x^2))+ \lambda x^2+\mu$

Necesito encontrar todos los puntos de bifurcación cuando $\lambda$ y $\mu$ varían en los reales, y estudian su tipo. (Nota: Estoy utilizando el software Maple para resolver esto). Tenga en cuenta que este es mi primer intento de resolver un ejercicio de este tipo, nunca he tratado con sistemas dinámicos antes. Cualquier tipo de ayuda será muy apreciada.

En primer lugar, quería encontrar todos los puntos de equilibrio no hiperbólicos del sistema, es decir, si $f = -(x^3/(1+x^2))+ \lambda x^2+\mu $ ,

$\begin{cases} f(x,\lambda,\mu)=0 \\ \partial f/ \partial x \ f (x,\lambda, \mu) = 0 \end{cases}$

Por alguna razón, Maple (un software con el que no estoy demasiado familiarizado, pero que estoy obligado a utilizar) no me da soluciones explícitas para este sistema. De hecho, no calcula nada.

Por lo tanto, he intentado un enfoque diferente, como se hace en este ejemplo de Hale-Kocak . Resolviendo la segunda ecuación con respecto a $\lambda$ (parámetro $\mu$ desaparece después de la derivación), obtengo

$\lambda = (1/2)x(x^2+3)/(x^2+1)^2$

Y sustituyendo en la primera, resolviendo con respecto a $\mu$ ,

$\mu = (1/2)x^3(x^2-1)/(x^2+1)^2$

.. y en este punto estoy atascado de nuevo. Debo obtener la relación entre $\lambda$ y $\mu$ como lo han hecho con los parámetros $c$ y $d$ en su ejemplo, pero no encuentro la manera de hacerlo.

Cualquier pista es bienvenida. Estoy en seria necesidad de ideas sobre cómo empezar a resolver esto.

Answer 1

Supongo que habrás probado a utilizar la función de Maple resolver comando. Esto no funciona muy bien cuando el número de ecuaciones es diferente del número de variables que se resuelven. El comando a utilizar en este caso es eliminar .

f:= -(x^3/(1+x^2))+lambda*x^2+mu:
eliminate({f = 0, diff(f,x) = 0}, {x});

Esto devolverá una lista de dos conjuntos. El primero contiene una ecuación que expresa $x$ en términos de $\lambda$ y $\mu$ . El segundo contiene una expresión que cuando se equipara a $0$ expresa la relación entre $\lambda$ y $\mu$ .

Como esta relación se proporciona en forma factorizada, se puede ver inmediatamente que $\mu=0$ es un caso especial. El otro factor es un polinomio de quinto grado en $\lambda$ y de cuarto grado en $\mu$ . Lo llamaré lu . Creo que resolver lu para una de sus variables agregará una gran complejidad a su trabajo mientras que no da mucho beneficio. En cambio, podemos estudiar un polinomio bivariado con gran detalle sin resolverlo explícitamente. En particular, se puede trazar con gráficos:-implicitplot o algcurves:-plot_real_curve y se pueden hacer algunos análisis más con otras herramientas en el algcurves paquete.

Tenga en cuenta que no sé mucho sobre el análisis de mapas iterativos. Proporciono esta respuesta porque sé mucho sobre Maple.

Para trazar las bifurcaciones en Maple 2016, consulte el nuevo IterativeMaps paquete. Esto produce gráficos con mucho más detalle y color que los otros comandos de Maple.