$|G|=pqr^2$ donde $3\leq p<q<r$ prime. Mostrar que si $r>\frac{1}{2}(pq-1)$ $G$ es solucionable.
Tomé $H\leq G$ $r$-subgrupo de sylow de $G$, no es un teorema, alegando que existe un homomorphism de $G$ a $S_{pq}$ ($pq$ es el índice de $H$).
Si el homomorphism es inyectiva, a continuación, $G$ es un subgrupo de $S_{pq}$, lo que significa $pqr^2|(pq)!$ $r^2|(pq-1)!$ pero sabemos $r^2>2r>pq-1$ de lo que se deduce que la homomorphism no puede ser inyectiva, esto significa que hay un no trivial núcleo, que es un subgrupo maximal de a $H$ y un subgrupo normal de $G$, puede ser de orden $r$ o $r^2$, permite que el nombre de K.
Si $|K|=r^2$, a continuación, la secuencia de $\{e\}\triangleleft K\triangleleft G$ tiene un factor de orden $r^2$ que es abelian como un cuadrado de un primer y un factor de orden $pq$.
La otra opción es $|K|=r$, entonces los factores son de orden: $r$$pqr$.
Estoy un poco atascado desde aquí.
