Demostrar que $1$ y $2$ son ceros del siguiente polinomio

Question

Demuestra que $1$ y $2$ son ceros del polinomio $P(x)=x^4-2x^3+5x^2-16x+12$ y por lo tanto, que $(x-1)(x-2)$ es un factor de $P(x)$

Answer 1

A cero de un polinomio es un valor de $x$ para lo cual $P(x) = 0$ .

Para demostrar que $1 \text{ and}\; 2$ son ceros, sustituir cada valor en el polinomio $P(x)$ y evaluar el polinomio para confirmar que se evalúa a $0$ :

Determine si $P(1) = 0?$ y si $P(2) = 0?$ ...

Es decir, lo que se consigue cuando se deja $\;x = 1?\;$ ¿Qué se consigue cuando se deja $\;x = 2$ ?
Si $P(x) = 0$ cuando $x = 1$ entonces $x = 1$ es un cero de $P(x)$ . Y si $P(x) = 0$ cuando $x = 2$ entonces $x = 2$ es un cero de $P(x)$

Tenga en cuenta que si $x_0$ es un cero de un polinomio, entonces $(x - x_0)$ es un factor del polinomio.
Así que una vez que confirme que $P(1) = P(2) = 0$ sabrá que $(x - 1)(x-2)$ es un factor de $P(x)$ Cuando factor se evalúa a cero, toda la función factorizada $P(x)$ se evalúa a cero.

Es bueno saberlo Siempre que te den un polinomio factorizado -supongamos que te dan que $Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ - puedes "leer" fácilmente sus "ceros".

Recordemos que cualquier cosa multiplicada por cero es igual a cero.:

Entonces, ¿cuándo $\;\bf Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)= 0\;?$

• $Q(x) = 0\;$ cuando $\;(x - 1) = 0\implies x = 1$ ,

• $Q(x) = 0\;$ cuando $\;(x - 2) = 0 \implies x = 2$ ,

• $Q(x) = 0\;$ cuando $\;(x - 3) = 0 \implies x = 3$ .

  Cualquiera de esos valores para $\,x: x= 1, \,x = 2,\,\text{ or}\; x= 3,\,$ le dará $Q(x) = 0$ .

Answer 2

La es una aplicación de la Teorema del factor .

Si $\operatorname{f}(x)$ es un polinomio y $\operatorname{f}(p)=0$ entonces $x-p$ es un factor de $\operatorname{f}(x)$ . En particular: si $\operatorname{f}(1)=0$ entonces $x-1$ es un factor de $\operatorname{f}(x)$ y si $\operatorname{f}(2)=0$ entonces $x-2$ es un factor de $\operatorname{f}(x)$ . Por lo tanto, para demostrar que $\operatorname{f}(x)$ tiene $(x-1)(x-2)$ como factor, debemos demostrar que tanto $\operatorname{f}(1)=0$ y $\operatorname{f}(2)=0$ . Fíjate que:

$$\begin{array}{ccccc} \operatorname{f}(1) &=& 1^4 - 2 \times 1^3 + 5 \times 1^2 - 16 \times 1 +12 &=& 1 - 2 + 5 - 16 + 12 &=& 0 \\ \operatorname{f}(2) &=& 2^4 - 2 \times 2^3 + 5 \times 2^2 - 16 \times 2 +12 &=& 16 - 16 + 20 - 32 + 12 &=& 0 \end{array}$$

De ello se desprende que ambos $x-1$ y $x-2$ dividir $\operatorname{f}(x)$ y así su producto $(x-1)(x-2)$ divide $\operatorname{f}(x)$ .

Answer 3

Recordemos que $(x-a)$ es un factor de un polinomio $P(x)$ , si $P(a) = 0$ . Por lo tanto, para comprobar si $(x-1)$ y $(x-2)$ son factores, encuentre el valor de $P(1)$ y $P(2)$ para concluir lo que quiere.

Answer 4

Sólo tienes que sustituir x por 1 y por 2. Esto te dará $P(1)=0$ y $P(2)=0$ es que estos valores son eventualmente ceros. Si lo son, podrías factorizarlos mediante $(x-1)(x-2)$ porque los ceros de esta expresión son 1 y 2.