Dado un entero impar positivo $n$ , computa $\sum_{m\neq n, m \text{ odd}} \frac1{n^2-m^2}$

Question

Posible duplicado:
Informática $\sum_{m \neq n} \frac{1}{n^2-m^2}$

Dado un entero impar positivo $n$ , computa $\displaystyle\sum_{m\neq n, \; \text{and} \; m \; \text{odd}} \frac1{n^2-m^2}$ . Si la indexación es confusa, aquí está el conjunto de indexación $M=\{1,3,5,\ldots\}\setminus\{n\}$ donde $n$ es un entero impar mayor o igual a uno. $\displaystyle\sum_{m\in M} \frac1{n^2-m^2}$ . Intenté dividir esto en fracciones parciales $\frac1{n^2-m^2}=\frac1{2n}(\frac1{m+n}-\frac1{m-n})$ para nada.

Answer 1

Supongamos que $n=2k+1$ y $m=2j+1$ Entonces

$$\begin{align*} \frac1{n^2-m^2}&=\frac1{2n}\left(\frac1{n-m}+\frac1{n+m}\right)\\ &=\frac1{2n}\left(\frac1{2(k-j)}+\frac1{2(k+j+1)}\right)\\ &=\frac1{4n}\left(\frac1{k-j}+\frac1{k+j+1}\right)\;. \end{align*}$$

Ahora divide la suma en los términos con $m<n$ y los términos con $m>n$ y escribirlo como

$$\frac1{4n}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\left(\frac1{k-j}+\frac1{k+j+1}\right)+\sum_{j>k}\left(\frac1{k-j}+\frac1{k+j+1}\right)\right)\;.$$

Ahora $$\sum_{j=0}^{k-1}\frac1{k-j}=\sum_{i=1}^k\frac1i\;,$$ y $$\sum_{j=k+1}^{2k}\frac1{k-j}=-\sum_{i=1}^k\frac1i\;,$$ por lo que estos términos se anulan, y nos quedamos con

$$\begin{align*} &\frac1{4n}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\frac1{k+j+1}+\sum_{j\ge 2k+1}\left(\frac1{k-j}+\frac1{k+j+1}\right)+\sum_{j=k+1}^{2k}\frac1{k+j+1}\right)\\ &\qquad=\frac1{4n}\left(\left(\sum_{j\ge 0}\frac1{k+j+1}-\frac1{2k+1}\right)+\sum_{j\ge 2k+1}\frac1{k-j}\right)\\ &\qquad=\frac1{4n}\left(\sum_{i\ge k+1}\frac1i-\frac1n-\sum_{i\ge k+1}\frac1i\right)\\ &\qquad=-\frac1{4n^2}\;. \end{align*}$$