He intentado la siguiente parte del ejercicio 5.49 en https://www.mat.uniroma2.it/~cannarsa/cam_0607.pdf :
- Por cada $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $f_n \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se define por: $$ f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^n} &\text{if $x \in [2^n, 2^{n+1}]$} \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$ Demuestra eso:
- [...]
- $\{f_n\}$ no converge débilmente en $L^1(\mathbb{R})$
¿Es correcta la siguiente prueba? ¿Se puede hacer más concisa?
Buscando una contradicción, supongamos que $(f_n)$ converge débilmente en $L^1(\mathbb{R})$ es decir, hay $f \in L^1(\mathbb{R})$ tal que $f_n \rightharpoonup f$ . Por definición, esto significa que para todos los $\phi \in (L^1(\mathbb{R}))^*$ tenemos $\phi(f_n) \to \phi(f)$ .
El doble de $L^1(\mathbb{R})$ contiene $L^\infty(\mathbb{R})$ a través de la siguiente incrustación: $$ \begin{aligned} L^\infty(\mathbb{R}) &\to (L^1(\mathbb{R}))^* \\ g &\mapsto \phi_{g} \end{aligned} $$ donde $\phi_g$ se define por: $$ \phi_g(h) = \int_\mathbb{R} gh\,\mathrm{d}\mu $$
Primero demostramos que $f$ es no negativo en casi todas partes. De hecho, buscando una contradicción, supongamos que no lo es. Esto significa que existe una medida $A \subseteq \mathbb{R}$ con $f(x) < 0 $ para todos $x \in A$ . Sea $\chi_A$ denotan la función característica de $A$ que está en $L^\infty(\mathbb{R})$ y considerar $\phi_{\chi_A} \in (L^1(\mathbb{R}))^*$ . Por un lado tenemos: $$\phi_{\chi_A}(f) = \int_\mathbb{R} \chi_A f\,\mathrm{d}\mu = \int_A f\,\mathrm{d}\mu < 0$$ Por otro lado, para todos los $n$ ya que $f_n \ge 0$ tenemos: $$\phi_{\chi_A}(f_n) = \int_\mathbb{R} {\chi_A}f_n\,\mathrm{d}\mu = \int_A f_n\,\mathrm{d}\mu \ge 0$$ Así que $\phi_{\chi_A}(f_n)$ no puede converger a $\phi_{\chi_A}(f)$ como $n \to \infty$ contradiciendo la suposición de que $f_n$ converge débilmente a $f$ .
Ahora, demostramos que $f$ debe ser, de hecho, cero en casi todas partes. Para cualquier $m \in \mathbb{N}$ Considera que $g_m := {\chi_{[2^m,2^{m+1}]}} \in L^\infty(\mathbb{R})$ y el correspondiente funcional $\phi_{g_m} \in (L^1(\mathbb{R}))^*$ . Entonces: $$\phi_{g_m}(f_n) = \int_{[2^m, 2^{m+1}]} f_n \,\mathrm{d}\mu = \begin{cases} \frac{1}{2^n} (2^{n+1}-2^n) = 1 &\text{if $n = m$} \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$ Por lo tanto, $\phi_{g_m}(f_n) \to 0$ como $n \to \infty$ . Pero por hipótesis $\phi_{g_m}(f_n) \to \phi_{g_m}(f)$ Así que $\phi_{g_m}(f) = 0$ . Es decir: $$\int_{[2^m,2^{m+1}]} f\,\mathrm{d}\mu = 0$$ Como hemos demostrado que $f$ es no negativo en casi todas partes, lo que implica que, de hecho, es cero en casi todas partes en $[2^m, 2^{m + 1}]$ . Pero esto es cierto para todos $m \in \mathbb{N}$ y como una unión contable de conjuntos nulos sigue siendo nula, esto significa $f$ es cero en casi todas partes en $\bigcup_{m \in \mathbb{N}} [2^m, 2^{m+1}] = [1, \infty)$ .
Aplique el mismo tipo de argumento con $\phi_{\chi_{(-\infty, 1]}}$ para demostrar que $f$ es cero en casi todas partes en $(-\infty, 1]$ concluyendo que $f$ es cero en casi todas las partes de $\mathbb{R}$ .
Hasta ahora hemos demostrado que, suponiendo $f_n \rightharpoonup f$ tenemos que $f$ es cero en casi todas partes. Pero esto lleva a una contradicción. En efecto, consideremos la función constante-1 ${\chi_{\mathbb{R}}}$ y el correspondiente funcional $\phi_{\chi_\mathbb{R}} \in (L^1(\mathbb{R}))^*$ que es sólo la integración (en todos los $\mathbb{R}$ ). Entonces: $$\phi_{\chi_\mathbb{R}}(f_n) = \int_\mathbb{R} f_n\,\mathrm{d}\mu = \frac{1}{2^n}(2^{n+1}-2^n) = 1 \to 1 \text{ as $ n \ a \ ninfty $}$$ Sin embargo, como $f$ es cero en casi todas partes: $$\phi_{\chi_\mathbb{R}}(f) = \int_\mathbb{R} f\,\mathrm{d}\mu = 0$$ Así, $\phi_{\chi_\mathbb{R}}(f_n) \nrightarrow \phi_{\chi_\mathbb{R}}(f)$ contradiciendo nuestra suposición inicial de la débil convergencia de $(f_n)$ a $f$ .
