Problemas de comprensión $\Bbb F_2[x]$

Question

Tengo problemas para entender los elementos de $\Bbb F_2[x]$ . ¿Por qué es $f_1(x)=x^3+1$ no es exactamente lo mismo que $f_2(x)=x+1$ ? $f_1(0)=1=f_2(0),f_1(1)=0=f_2(1)$

Es decir, ¿por qué no podemos reducir $x^n=x$ ? Entonces los únicos polinomios irreducibles en $\Bbb F_2[x]$ son $x,x+1,0,1$ ? ¿Qué he entendido mal?

Answer 1

El anillo $\mathbb{F}_{2}[x]$ hace no contienen funciones; realmente no se puede argumentar que los objetos de este anillo son iguales porque definen la misma función. El elemento $x$ debe ser considerado como un indeterminado es decir, es un elemento trascendental (no satisface ninguna ecuación algebraica).

Si quieres considerar los polinomios como funciones, puedes trabajar en el anillo de factores $\mathbb{F}_{2}[x]/\langle x^{2} +x\rangle$ (en general, se utilizaría $\mathbb{F}_{q}[x]/\langle x^{q} -x \rangle$ ); dos polinomios de la misma clase de equivalencia en este anillo de factores determinan el mismo mapeo de $\mathbb{F}_{2} \to \mathbb{F}_{2}$ . Observe que $$x^3 +1 = (x+1)(x^{2} +x) + x + 1,$$ así que $x^{3} +1$ y $x+1$ están en la misma clase de equivalencia aquí.

Answer 2

En el ring $\mathbb{F}_2[x]$ (o incluso cualquier anillo polinómico), gran parte del juego consiste en jugar con los "coeficientes". Así, es $3x+1=x+1$ porque los "coeficientes" $3$ y $1$ son iguales en $\mathbb{F}_2$ ; pero no $x^3+1=x+1$ .

Answer 3

¿Por qué es $f_1(x)=x^3+1$ no es exactamente lo mismo que $f_2(x)=x+1$ ? $f_1(0)=1=f_2(0),f_1(1)=0=f_2(1)$ [...] Entonces los únicos polinomios irreducibles en $\Bbb F_2[x]$ son $x,x+1,0,1$ ?

Has descubierto que las dos expresiones polinómicas producen funciones idénticas, pero la definición "correcta" de igualdad de polinomios es "la lista ordenada de coeficientes coincide".

El uso de polinomios como funciones es más útil para identificar la irreductibilidad de los polinomios de grado 3 o menos. Es cierto que un polinomio no nulo de grado 3 o menos es reducible si tiene un cero como función. Más allá de eso, un polinomio con una raíz es reducible, pero la inversa puede fallar. Tal vez de ahí haya sacado la idea de esta conexión.

Es decir, ¿por qué no podemos reducir $x^n=x$ ?

Usted puede reducir $x^n-x$ sobre cualquier campo. Al menos es un factor en $(x-1)\sum_{i=0}^{n-1} x^i$ . ¿Se refiere a reducir de alguna otra manera?

Si quieres decir que crees $x$ es irreducible, entonces continuó que " $x=x^n$ " y, por lo tanto, también es reducible, entonces has vuelto a tropezar con el problema de la "definición errónea de la igualdad".