Homomorfismo de álgebras y Nullstellensatz

Question

Sean A y B $\mathbb{Q}$ -de dimensión finita sobre Q, y sea $\mathbb{Q}^{al}$ sea el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{C}$ . Demuestre que si $Hom_{\mathbb{C}-algebra}(A \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}, B \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C})\neq \emptyset$ entonces $Hom_{\mathbb{Q}^{al}-algebra}(A \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}^{al}, B \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}^{al})\neq \emptyset$ .

Esta pregunta es de la geometría algebraica de Milne y la solución, según el apéndice del libro, es la siguiente:

La declaración $Hom_{k-algebra}(A \otimes_{\mathbb{Q}} k, B \otimes_{\mathbb{Q}} k)\neq \emptyset$ puede interpretarse como que un determinado conjunto de polinomios tiene un cero en k. Si los polinomios tienen un cero común en $\mathbb{C}$ entonces el ideal que generan en $\mathbb{C}[X_{1},...]$ no contiene 1. A fortiori el ideal que generan en $k[X_{1},...]$ no contiene 1, por lo que la Nullstellensatz implica que los polinomios tienen un cero común en k.

Ahora estoy atascado en el principio de la prueba. ¿Cómo se puede interpretar la afirmación anterior como que un determinado conjunto de polinomios tiene un cero en k? Y también donde utiliza el cierre algebraico de Q. La parte llamada Nullstellensatz es obvia pero no puedo percibir la idea principal. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Elija las bases para $A$ y $B$ como espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ . Ahora un mapa lineal de $A$ a $B$ viene dada por una matriz $M$ . ¿Cuál es la condición de los coeficientes de $M$ para que el mapa sea un homomorfismo de álgebras? (Utilice los coeficientes de estructura de $A$ y $B$ es decir, si $e_1$ , $e_2$ ...es una base de $A$ , escriba $e_i\cdot e_j=\sum c_{ijk}e_k$ etc.)