¿En qué paso de la prueba de abajo me estoy equivocando?

Question

$(a_n) \rightarrow 0 \implies \sum^\infty_{n=1} a_n \rightarrow L \;\;$ para algunos $L < \infty$

Sé que la afirmación anterior es falsa. Un contraejemplo típico es $a_n = \frac{1}{n} \;\;$ . Sin embargo, cuando intento demostrar de alguna manera lo "pruebo". Así que estoy cometiendo un error en mi prueba, pero no pude averiguar dónde. Esperaba que alguien pudiera indicarme el error.

dado $\forall \epsilon > 0, \; \exists N : \forall n > N, \; |a_n| < \epsilon$

Quiero demostrar que para $\;\; s_n = a_1 + ... + a_n \;\; ,\;\;\;\forall \epsilon > 0, \;\; |s_n - s_m| < \epsilon $

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $n>m \;$ y $\;n = m+k\;$ entonces $\;\; |s_n - s_m| = |a_n + ... + a_{m+1}|$

Ahora bien, como $(a_n) \rightarrow 0 \;\;$ , dado $\epsilon >0\;$ elija $N^*>0$ tal que $\forall m> N^*, |a_m| < \frac{\epsilon}{k}$ .

entonces deja que $n,m >N^*$ :

$|s_n-s_m| = |a_{m+k} + ... + a_{m+1}| \leq |a_{m+k} |+ ... + |a_{m+1}| \leq \frac{\epsilon}{k} + ... + \frac{\epsilon}{k} = k \frac{\epsilon}{k} = \epsilon $

Dependiendo de la elección de $N^*$ también en el valor $k(n,m)$ . Así que si elijo otro $n' > m+k$ entonces la desigualdad anterior falla. Esto significa que el argumento anterior sólo es válido si $\forall m, m+k > N^* \;\;$ y $\forall k >0$ ? Estoy confundido un poco de ayuda en señalar mi error será apreciado...

Answer 1

Tenga cuidado con la prueba. Tienes que demostrar lo siguiente:

Para todos $\epsilon > 0$ hay $N^*$ suficientemente grande, tal que para todo $n,m > N^*$ tenemos $|s_n - s_m| < \epsilon$ .

En primer lugar: WLOG, $n = m+k$ , donde $k$ no es fijo, puede ser cualquier número natural.

Usted dice lo siguiente: para el $\epsilon$ , hay $N^*$ tal que $|a_m| < \frac{\epsilon}{k}$ . Esto ciertamente no puede ser válido para todos los $k$ ya que entonces estás diciendo que $a_m = 0$ después de $N^*$ , lo que no tiene por qué ser el caso, por ejemplo, de la serie armónica. Por lo tanto, $k$ se arregla en realidad con esta afirmación .

Ahora, $n,m > N^*$ entonces proporcionado $n=m+k$ ( recuerda, $k$ es fijo ), tenemos que $|s_n-s_m| < \epsilon$ .

Sin embargo, se plantea la cuestión: necesitamos la igualdad para todos $n,m$ lo cual no es cierto, ¡esto se proporciona sólo cuando la distancia entre ellos es fija!

Por lo tanto, el argumento es erróneo.

Para dar un ejemplo: supongamos que tomamos la serie armónica $\frac 1n$ y $ \epsilon = \frac 19$ . Entonces, sí, podemos encontrar, para todos $k$ , un número $N^*$ en función de $k$ , de tal manera que después de $N^*$ la suma de $k$ términos consecutivos está limitado por $\epsilon$ . Sin embargo, no podemos decir mucho si estamos considerando la suma de $1000k$ términos después $N^*$ por ejemplo.