Examen gráfico de la existencia de una EDO de 2º orden dada una curva de solución

Question

Dada cualquier curva de solución $y(t)$ ¿Cuáles son algunos criterios gráficos para determinar si hay existe algún lineal de 2º orden, homogéneo, con coeficientes continuos pero posiblemente no constantes, del que la curva es una solución?

Cada uno de los gráficos que aparecen a continuación muestran las gráficas de tres funciones $y(t)$ . ¿Para qué opciones existe una oda lineal homogénea de segundo orden con coeficientes continuos pero posiblemente no constantes de la que las tres funciones son soluciones?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario.

Tras un examen más detallado, reconozco que (b) no es, de hecho, una solución a la pregunta original.

Nótese que las curvas de solución en (b) difieren todas en una constante. Si existe una EDO de segundo orden que admita todas estas curvas como solución, entonces también debe admitir una constante como solución.

En general, un PIV que admite una solución constante tiene el siguiente aspecto

$$ y''(t) + p(t)y'(t) = 0, \quad y(t_0) = y_0, \ y'(t_0) = 0 \tag{1} $$

donde $p(t)\ne 0$ .

Si la ODE en $(1)$ tiene una solución no constante, dicha solución no debe tener una derivada cero en ningún punto (ya que si una solución tiene una derivada cero, debe ser constante debido al Teorema de la Unicidad). Vemos que las curvas no constantes en (b) no satisfacen esto, por lo tanto (b) no es correcta.

Answer 2

Las respuestas son (a), (c), (f).

Observe que el gráfico rojo $y_3$ de la opción (f) está exactamente en el medio, por lo que es una combinación lineal de $y_1$ y $y_2$ En comparación con la opción (e), la gráfica roja no es una combinación lineal de las otras dos, por lo que obtenemos tres soluciones linealmente independientes. Pero el espacio de soluciones de una EDO de segundo orden tiene dimensión dos, por lo que la opción (e) no es posible.

En la opción (d), la curva verde y la curva roja tienen ceros comunes, lo que no está permitido a menos que sean múltiplos constantes entre sí. Si fueran múltiplos constantes entre sí, tendrían los mismos ceros.

*Por favor, vea mi otra respuesta para saber por qué la opción (b) es incorrecta.

Por lo tanto, las opciones (b), (d) y (e) son incorrectas.

Answer 3

El Teorema de existencia y unicidad para la EDO de segundo orden establece que

Para el problema de valor inicial
$$ y''+p(t)y'+q(t)y = g(t),\qquad y(t_0)=y_0, y'(t_0)=y_0' $$
donde $p,q$ y $g$ son continuas en un intervalo abierto $I$ que contiene el punto $t_0$ hay exactamente una solución $y=\phi(t)$ de este problema y la solución existe en todo el intervalo $I$ .

Para la opción (b) en $t=0$ vemos que las soluciones toman cada una valores diferentes, por lo que no pueden ser soluciones del mismo problema de valor inicial.