Si el cuadrado de un número es par, entonces el número es par. ¿Es eso cierto para el 2?

Question

Voy a repasar rápidamente lo que entiendo por ello:

Si un número $n^2$ es par, entonces $n$ está en paz. La contraposición es que si $n$ no es par, entonces $n^2$ no es uniforme.

Representamos n como $n=2p+1$ . $n^2=4p^2 + 4p + 1 = 2(2p^2+2p) + 1$ . Vemos que $n^2$ es impar. Por tanto, la afirmación original debe ser cierta.

Ahora bien, esta es mi pregunta, fijada $n^2=2$ . $n^2$ es uniforme pero $n=\sqrt2$ no lo es. ¿O sí? Estoy confundido

Answer 1

Ambos $n^2$ y $n$ deben ser enteros para que este teorema se cumpla.

Answer 2

Todo lo que has escrito es correcto hasta la última línea. Si $n^2$ es par, entonces $$ n^2 = 2m \quad\text{ for some } m. $$

Cuando escribiste $n^2 = 2$ , estabas asumiendo (falsamente) que $m=1$ .

Por cierto, el lenguaje par/impar sólo se utiliza cuando se habla de números enteros, por lo que no existe la raíz cuadrada de $2$ .

Answer 3

La afirmación original sobre "el cuadrado de un número" es cierta en un contexto en el que "número" significa "número entero". Si ese contexto no está claro, es mejor decir explícitamente "el cuadrado de un entero ". El cuadrado de cualquier número entero par se puede escribir $2m$ donde $m$ es un número entero, pero no todos los números que se pueden escribir como $2m$ donde $m$ es un número entero es un cuadrado de un número entero de cualquier tipo.

Ejemplos de cuadrados de números enteros pares escritos en la forma $2m$ :

$$\begin{align} 2^2 &= 4 = 2m & \text{where }\ & m=2. \\ 4^2 &= 16 = 2m & \text{where }\ & m=8. \\ 6^2 &= 36 = 2m & \text{where }\ & m=18. \\ 8^2 &= 64 = 2m & \text{where }\ & m=32. \\ \end{align}$$

Ejemplos de $2m$ donde $m$ es un número entero, pero $2m$ no es el cuadrado de ningún número entero:

$$\begin{align} 2 = 2m & & \text{where }\ & m=1. & & \text{Not the square of any integer: }\ 1^2 < 2 < 2^2.\\ 6 = 2m & & \text{where }\ & m=3. & & \text{Not the square of any integer: }\ 2^2 < 6 < 3^2.\\ 8 = 2m & & \text{where }\ & m=4. & & \text{Not the square of any integer: }\ 2^2 < 8 < 3^2.\\ 10 = 2m & & \text{where }\ & m=5. & & \text{Not the square of any integer: }\ 3^2 < 10 < 4^2.\\ \end{align}$$

Answer 4

si n no es par (impar)

No ser par es lo mismo que ser impar sólo si n es un número entero. Concretamente, en tu caso, sqrt(2) no es ciertamente par. Pero eso no significa que sea impar. :-)

Answer 5

[Esta respuesta fue provocada por un pregunta $4$ años después sobre la pregunta anterior].

Es casi seguro que el contexto previsto es el anillo de enteros, por lo que $\,n\in \Bbb Z,\,$ que excluye $\,n = \sqrt 2$ .

Pero es instructivo examinar lo que ocurre en el anillo numérico más general que usted considera.

De hecho, sigue siendo cierto si unimos $\,\sqrt 2\,$ a $\,\Bbb Z\,$ para obtener $\,\Bbb Z[\sqrt 2] = \{ j + k \sqrt 2\ :\ j,k\in\Bbb Z\}$

Como explico aquí este anillo tiene un sentido de paridad: $\,\alpha = j+k\sqrt 2\,$ es incluso $\iff \sqrt 2\mid \alpha \iff 2\mid j$

que inmediatamente da como resultado $\ \alpha^2\,$ incluso $\iff \alpha$ incluso. Como se explica en el post enlazado, los resultados de paridad de enteros se generalizan inmediatamente a cualquier anillo que tenga $\,\Bbb Z/2 = $ enteros $\!\bmod 2\,$ como imagen.

Como en el caso anterior, muchos resultados de la teoría numérica elemental se generalizan a los números algebraicos. Estos temas se tratan en cualquier curso de teoría de números algebraicos.