Transformación inversa de Laplace de la expresión compleja

Question

Tengo una expresión a continuación que necesito para hacer la transformada de Laplace

Cualquier ayuda es muy apreciada.

La expresión es :

$$ \frac{\exp\left(\frac{x}{2}\sqrt{(U/D)^2+4s/D}\right)}{s\sqrt{(U/D)^2+4s/D}} $$

La integral de la expresión de Ron Gordon:

La primera expresión de la solución fue extraída de Wolfram del siguiente enlace: http://bit.ly/YFbLfH

Answer 1

Voy a reducir esto a una integral sobre la línea real. Consideremos la integral en el plano complejo:

$$\displaystyle \oint_C \frac{dz}{z} \frac{\exp{\left[\frac{x}{2} \sqrt{\left(\frac{U}{D} \right)^2 + 4 \frac{z}{D}}\right]}}{\sqrt{\left(\frac{U}{D} \right)^2 + 4 \frac{z}{D}}} e^{t z}$$

donde $C$ es el siguiente contorno

Obsérvese que el punto es el punto de ramificación. Afirmaré sin pruebas que la integral desaparece a lo largo de las secciones $C_2$ , $C_4$ y $C_6$ de $C$ . Esto deja $C_1$ (la ILT), $C_3$ y $C_5$ . Hay un polo dentro del contorno en $z=0$ por lo que, por el teorema del residuo, tenemos

$$\frac{1}{i 2 \pi}\left [\int_{C_1} + \int_{C_3} + \int_{C_5} \right ]\frac{dz}{z} \frac{\exp{\left[\frac{x}{2} \sqrt{\left(\frac{U}{D} \right)^2 + 4 \frac{z}{D}}\right]}}{\sqrt{\left(\frac{U}{D} \right)^2 + 4 \frac{z}{D}}} e^{t z} = \frac{D}{U} e^{U x/(2 D)}$$

A lo largo de $C_3$ , observe que hay un punto de bifurcación en $z=-U^2/(4 D)$ . Así, parametrizamos $z=-U^2/(4 D) + e^{i \pi} y$ la integral sobre $C_3$ se convierte en

$$-i \int_{\infty}^0 \frac{dy}{y+\frac{U^2}{4 D}} \frac{e^{i (x/2) \sqrt{y}}}{\sqrt{y}} e^{-t y}$$

Del mismo modo, a lo largo de $C_5$ , dejemos que $z=-U^2/(4 D) + e^{-i \pi} y$ la integral sobre $C_5$ se convierte en

$$i \int_0^{\infty} \frac{dy}{y+\frac{U^2}{4 D}} \frac{e^{-i (x/2) \sqrt{y}}}{\sqrt{y}} e^{-t y}$$

Si juntamos todo esto como en el caso anterior, obtenemos una expresión para el ILT:

$$\frac{1}{i 2 \pi}\int_{c-i \infty}^{c+i \infty} \frac{ds}{s} \frac{\exp{\left[\frac{x}{2} \sqrt{\left(\frac{U}{D} \right)^2 + 4 \frac{s}{D}}\right]}}{\sqrt{\left(\frac{U}{D} \right)^2 + 4 \frac{s}{D}}} e^{t s} = \\ \frac{D}{U} e^{U x/(2 D)} - \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{dy}{y+\frac{U^2}{4 D}} \frac{\cos{[(x/2) \sqrt{y}]}}{\sqrt{y}} e^{-t y}$$

Por lo tanto, la evaluación de la ILT publicada depende de la capacidad de evaluar

$$\int_0^{\infty} \frac{dy}{y+\frac{U^2}{4 D}} \frac{\cos{[(x/2) \sqrt{y}]}}{\sqrt{y}} e^{-t y}$$

Esta integral se puede evaluar primero sustituyendo $y=u^2$ y luego aplicar el teorema de la convolución (o el teorema de Parseval, según el estado de ánimo). La sustitución produce

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2+b^2} e^{-a u^2} e^{i k u}$$

donde $a = t$ , $b^2=U^2/(4 D)$ y $k=x/2$ . A continuación, puede utilizar el teorema de convolución sobre las transformadas de Fourier de las funciones

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^2} e^{i k u} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-k^2/(4 a)}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2+b^2} e^{i k u} = \frac{\pi}{b} e^{-b |k|}$$

Entonces

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2+b^2} e^{-a u^2} e^{i k u} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\pi}{b} \int_{-\infty}^{\infty} dk' e^{-(k-k')^2/(4 a)} e^{-b |k'|}$$

Francamente, la evaluación de esta integral es sencilla pero un lío, cuya derivación no es muy instructiva y sólo servirá para ofuscar el resultado. Lo dejo al lector con la seguridad de que lo he hecho yo mismo, a mano. El resultado es que

$$\int_0^{\infty} \frac{dy}{y+\frac{U^2}{4 D}} \frac{\cos{[(x/2) \sqrt{y}]}}{\sqrt{y}} e^{-t y} = \pi \frac{\sqrt{4 D}}{U} e^{U^2 t/(4 D)} \left [ e^{-U x/(4\sqrt{D})} \text{erfc}\left(-U \sqrt{\frac{t}{D}}+\frac{x}{4 \sqrt{t}}\right) + e^{U x/(4 \sqrt{D})} \text{erfc}\left(-U \sqrt{\frac{t}{D}}-\frac{x}{4 \sqrt{t}}\right) \right]$$

donde erfc es el función de error complementaria . Introduce esta expresión en la ecuación del ILT y ya está.