Fontaine-Mazur para GL_1

Question

Para cualquier campo numérico $K$ la conjetura de Fontaine-Mazur predice que todo potencialmente semiestable $p$ -representación de los grupos de Galois absolutos $G_K$ de $K$ que no está ramificado en casi ningún sitio proviene de la geometría algebraica (es decir, es un subcociente de la cohomología etale de alguna variedad sobre $K$ hasta Tate twist). Por lo que veo, los únicos casos en los que se ha avanzado se refieren al caso $K$ es totalmente real o CM.

Esto me hizo preguntarme: ¿Se sabe que la conjetura Fontaine-Mazur es cierta para $1$ -representaciones dimensionales para cualquier campo numérico $K$ ? Para campos CM, la teoría de variedades abelianas CM da variedades cuya cohomología realiza caracteres no triviales (y supongo que las variaciones fáciles deberían producir todos los caracteres). ¿Cuáles son los objetos geométricos que aparecen para otros campos?

[editar: ahora se evita la palabra "geométrica", ver los comentarios].

Answer 1

Dejemos que $\chi$ sea una geometría unidimensional (en el sentido de FM) $p$ -representación de Galois de $G_K$ y que $\psi$ sea el carácter de Hecke de $K$ asociado a $\chi$ por la teoría del campo de clases. El hecho de que $\chi$ es de Rham (=pst) en todos los primos por encima de $p$ imples que $\psi$ es un algebraico Carácter de Hecke. Generalmente, los únicos caracteres algebraicos de Hecke de $K$ son de la forma $(\text{finite order})\cdot\mathcal{N}^n$ donde $\mathcal{N}$ es el carácter de la norma. Bajo la teoría del campo de clases, $\mathcal{N}$ corresponde al carácter ciclotómico, por lo que procede de la geometría; además, cualquier carácter de orden finito procede de la geometría (surge como el subcociente del $H^0$ de una variedad de dimensión cero). La única vez que hay más caracteres algebraicos de Hecke es cuando $K$ contiene un campo CM. Denota $L$ el campo CM máximo en $K$ todo carácter algebraico de Hecke de $K$ es de la forma $(\text{finite order})\cdot(\psi_L\circ\mathcal{N}_{K/L})$ donde $\psi_L$ es un carácter algebraico de Hecke de $L$ y $\mathcal{N}_{K/L}$ es la norma de $K$ a $L$ . De nuevo, los caracteres de orden finito provienen de la geometría, por lo que este caso se reduce al caso CM. Como ha mencionado el caso CM ha sido tratado, por lo que Fontaine-Mazur es cierto para $\mathrm{GL}(1)$ .