Estructura de $*$ -representaciones de la matriz $C^*$ -algebras

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio del libro de Paulsen "Completely bounded maps and operator algebras":

Aquí, $M_n$ es el $C^*$ -álgebra de complejos $n \times n$ matrices.

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No tengo una buena manera de atacar este problema. Pero aquí hay una observación.

• Como se trata de un álgebra simple, un unital $*$ -es siempre inyectiva, por lo que sabemos que $M_n$ se incrusta en $B(\mathcal{K})$ a través de la representación $\pi$ .

¿Cómo puedo construir los subespacios $\mathcal{H}_i$ ?

Answer 1

Subespacios complementados de subespacios de $\mathcal{K}$ corresponden a la proyección ortogonal en $\mathcal{B}(\mathcal{K})$ (es decir, la proyección ortogonal sobre el subespacio). En $M_n$ las matrices $E_{i,i}$ son proyecciones.

Desde $*$ -Los homomorfismos llevan las proyecciones a las proyecciones, se deduce que $\pi(E_{i,i})$ es una proyección para cada $i$ . Entonces $\mathcal{H}_i := \pi(E_{i,i}) \mathcal{K}$ es un subespacio de $\mathcal{K}$ y como $E_{i,i}E_{j,j} = \delta_{i,j}$ el subespacio $\mathcal{H}$ son mutuamente ortogonales. Además, como $\pi$ es unital $$ 1_{\mathcal{B}(\mathcal{K})} = \pi(1_{M_n}) = \pi(\sum_{i=1}^n E_{i,i}) = \sum_{i=1}^n \pi(E_{i,i}). $$ De ello se desprende que $\mathcal{K} = \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{H}_i$ . Desde $E_{i,j}E_{k,l} = \delta_{j,k} E_{i,l}$ se deduce que para $\pi(E_{i,i})h \in \mathcal{H}_i$ tenemos $$ \pi(E_{j,i}) \pi(E_{i,i})h = \pi(E_{j,j}) \pi(E_{j,i}) h \in \mathcal{H}_j $$ por lo que podemos considerar el operador restringido $\pi(E_{j,i}) \colon \mathcal{H}_i \to \mathcal{H}_j$ (realmente $\pi(E_{j,i})|_{\mathcal{H}_i}$ ) que tiene inversa $\pi(E_{i,j})$ .

Te dejo la declaración de equivalencia unitaria, pero piensa en el "cambio de base". También hay que hacer algunos retoques para conseguir esto en la forma de tu pregunta original.