Puede cualquier torsión libre grupo abelian ser incrustado en una suma directa de copias de $\mathbb Q$?

Question

Estoy tratando de resolver un problema y necesito saber si lo que he hecho es correcto:

Deje $B$ ser una de torsión libre abelian grupo. Entonces, consideramos el conjunto $$A=\{(b,n):b\in B,n\in \mathbb Z,n\neq 0\}$$ y definir $$(b,n)\sim (a,m) \text{ iff } bm=an.$$ Esto produce una relación de equivalencia, ahora usted puede definir, además de las clases por $(b,n)+(a,m)=(am+bn,nm)$. A continuación, $(A,+)$ es una de torsión libre abelian grupo y $B$ puede ser embebido en $(A,+)$, pero también se $(A,+)$ es divisible, por lo $(A,+)$ puede ser incrustado en una suma directa de copias de $\mathbb Q$.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Aquí hay una respuesta usando el tensor de productos, inspirado en egreg del comentario anterior.

Por el corolario 4.27 en este expositiva artículo de Keith Conrad, el mapa $B\to B\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$, $b\mapsto b\otimes 1$ es inyectiva, ya que $B$ es de torsión libre. Ahora, el grupo abelian $B\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial estructura (es el $\mathbb{Q}$-extensión de escalares de $B$), por lo que es isomorfo a una suma directa de copias de $\mathbb{Q}$.