¿Qué es lo menos $n$ de manera que sea posible incrustar $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ en $S_n$ ?

Question

Dejemos que $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ sea el grupo de los invertibles $2\times 2$ matrices sobre $\mathbb{F}_5$ y $S_n$ sea el grupo de permutaciones de $n$ objetos.

¿Qué es lo menos $n\in\mathbb{N}$ tal que existe una incrustación (homomorfismo inyectivo) de $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ en $S_n$ ?

Hoy se ha formulado una pregunta de este tipo en un examen; me ha parecido bastante difícil. Hay una evidente incrustación con $n=24$ y como $|\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)|=480$ y en $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ hay muchos elementos con orden $20$ tenemos $n\geq 9$ . Sin embargo, "llenar el vacío" entre $9$ y $24$ parece difícil, al menos para mí. ¿Puede alguien arrojar luz sobre el tema? Apostaría a que la teoría de la representación y los grafos de Cayley pueden ayudar, pero no tengo tanta confianza en afirmar algo no trivial. Creo que demostrar que $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ es generado por tres elementos (¿es esto cierto?) también puede ayudar.

También me interesaría tener una prueba de algo más nítido que $9\leq n\leq 24$ .

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Actualización. Lo siguiente Página de Wikipedia afirma, en el apartado Isomorfismos excepcionales que $\operatorname{PGL}(2,5)$ es isomorfo a $S_5$ . Esto parece sugerir que $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ se incrusta en $\mathbb{Z}_4\times S_5$ que se incrusta en $S_9$ . ¿Estoy en lo cierto?

Segunda actualización. No, estoy equivocado, ya que $\mathbb{F}_{25}^*$ se incrusta en $\operatorname{GL}(2,\mathbb{F}_5)$ , por lo que hay un elemento con orden $24$ Así que $n\geq 11$ .

Answer 1

La respuesta es $24$ . La acción natural sobre ${\mathbb F}_5 \setminus \{0\}$ muestra que ${\rm GL}_2(5) < S_{24}$ .

Para demostrar que esto es lo más pequeño posible probamos el resultado más fuerte de que $24$ es el más pequeño $n$ con $G:={\rm SL}_2(5) \le S_n$ . El centro $Z = \{ \pm I_2 \}$ de $G$ tiene orden $2$ y, como $G/Z \cong {\rm PSL}_2(5) \cong A_5$ es simple, $Z$ es el único subgrupo normal propio no trivial de $G$ . Así que cualquier acción de permutación no fiel de $G$ tiene $Z$ en su núcleo. Se deduce que la representación fiel de grado más pequeño es transitiva, por lo que es equivalente a una acción sobre los cosets de un subgrupo $H < G$ con $H \cap Z = 1$ . Por lo tanto, buscamos el mayor subgrupo $H$ de $G$ con $H \cap Z = 1$ .

Desde $ -I_2$ es el único elemento de orden $2$ en $G$ todos los subgrupos de $G$ de orden par contienen $Z$ . No hay ningún subgrupo de orden $15$ por lo que el mayor subgrupo de orden impar tiene orden $5$ y la acción de permutación sobre sus cosets tiene grado $120/5 = 24$ .

En general, para un grupo finito $G$ con una estructura complicada, el problema de encontrar el menor $n$ con $G \le S_n$ parece ser muy difícil, y no he encontrado ningún algoritmo informático que lo resuelva eficazmente. La dificultad viene del hecho de que el más pequeño $n$ no suele provenir de una acción transitiva, por lo que hay que buscar todas las posibilidades de combinación de acciones transitivas para conseguir el intersectino trivial de los núcleos. En este caso particular, tenemos la suerte de poder reducir el problema a ${\rm SL}_2(5)$ donde tenemos garantizado que la acción mínima es transitiva, por lo que entonces sólo se trata de buscar el mayor subgrupo sin núcleo, lo que puede hacerse computacionalmente si el grupo no es demasiado grande.

Answer 2

He aquí algunas reflexiones. Cada acción de un grupo $G$ es una unión disjunta de acciones de grupo transitivas $G/G_i$ para varios subgrupos $G_i$ . Una acción de grupo es fiel si para cada $g \in G$ no es igual a la identidad hay algún $i$ tal que $g$ no actúa por la identidad en $G/G_i$ . Por lo tanto, debe haber algún coset $h G_i$ tal que $gh G_i \neq h G_i$ o, por el contrario, que $hgh^{-1} \not \in G_i$ . Así que la condición es que la clase de conjugación de $g$ no está contenida en su totalidad en $G_i$ . Por último, para que una acción de grupo sea pequeña queremos que el $G_i$ para ser grande.

Esta condición es más difícil de satisfacer cuando $g$ es central; en ese caso, la condición es que debe existir algún $G_i$ tal que $g \not \in G_i$ . Pero me parece difícil encontrar un gran subgrupo de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ que no contenga un elemento central no trivial. La acción de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ en $\mathbb{F}_5^2 \setminus \{ (0, 0) \}$ proviene del subgrupo de matrices de la forma

$$\left[ \begin{array}{cc} 1 & \ast \\ 0 & \ast \\ \end{array} \right]$$

que tiene orden $20$ y ese es el mayor subgrupo que se me ocurre que no tiene un elemento central no trivial.

Si nos permitimos ignorar el centro podemos hacerlo mucho mejor. $\text{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ actúa sobre $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_5)$ que tiene $6$ elementos, con el núcleo precisamente en el centro. Podemos capturar la mitad del centro utilizando el determinante $\det : \text{GL}_2(\mathbb{F}_5) \to \mathbb{F}_5^{\times}$ que da una acción de grupo con $4$ elementos. La unión disjunta de estas dos acciones de grupo tiene $10$ elementos y tiene el núcleo sólo $-1$ .