Encontrar el determinante eficiente de un tipo específico de matriz

Question

$$M=\left[\begin{array}{ccccc} kI & A & \ldots & A & A\\ A & kI & \ldots & A & A\\ \vdots & & & \vdots & \vdots\\ A & A & \ldots & A & kI \end{array}\right]$$ $M$ es una matriz cuadrada Es decir, $M$ tiene el $kI$ a lo largo de su diagonal principal y la matriz $A$ en otro lugar.
$A$ es una matriz de dimensión $n\times n$ teniendo todos los elementos iguales, $kI$ también es un $n\times n$ la matriz identidad multiplicada por una constante $k$

¿Cómo puedo encontrar el determinante de manera eficiente de tales matrices para valores pequeños de $n$ ? ¿Puede hacerse mediante simples transformaciones?

Answer 1

Supongamos que $M$ es $mn\times mn$ . Si $A$ es diagonalizable a $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ entonces $M$ es similar a $$ M_1=\begin{bmatrix} kI & D & \ldots & D & D\\ D & kI & \ldots & D & D\\ \vdots & & & \vdots & \vdots\\ D & D & \ldots & D & kI \end{bmatrix} $$ y $M_1$ es similar en cuanto a la permutación a $B_1\oplus\cdots\oplus B_n$ , donde $$ B_i=\begin{bmatrix} k & \lambda_i & \ldots & \lambda_i & \lambda_i\\ \lambda_i & k & \ldots & \lambda_i & \lambda_i\\ \vdots & & & \vdots & \vdots\\ \lambda_i & \lambda_i & \ldots & \lambda_i & k \end{bmatrix}. $$ Por lo tanto, $$\det(M)=\prod_{i=1}^n\det(B_i)=\prod_{i=1}^n (k-\lambda_i)^{m-1}(k+(m-1)\lambda_i).\tag{1}$$ Como las matrices diagonalizables son densas en el espacio matricial, la fórmula $(1)$ se aplica para los no diagonalizables $A$ también. (Supongo que está trabajando sobre $\mathbb{C}$ . Para otros campos, que $(1)$ funciona para matrices no diagonalizables tiene que justificarse por otras razones más generales .)