Estoy siguiendo el capítulo 3 de "Brownian Motion", de Peres y Mörters, sobre El Problema de Dirichlet(DP). Como es sabido, para obtener la existencia y unicidad de una solución para el DP es necesario pedir cierta suavidad a la frontera de la región $\ U$ donde se plantea el DP. El siguiente lema permite demostrar que bajo la "condición de Zaremba" existe dicha solución única, pero tengo problemas con las dos partes de la demostración de dicho lema
Dejemos que $(B(t))$ sea un movimiento browniano (BM) en $\mathbb{R}^d$ y denotamos un cono centrado en $z\in\mathbb{R}^d$ con ángulo de apertura $\alpha$ como $C_{\alpha}(z)$ . Si está centrado en el origen, observemos $C_{\alpha}$ y su tiempo de golpeo como $\tau$ .
El lema 3.11 afirma que existe una probabilidad positiva uniforme para un BM de alcanzar $C_{\alpha}$ antes de alcanzar el límite de la bola unitaria (también centrada en el origen), partiendo de cualquier $x\in\partial B_{1/2}\ $ es decir
$$ \sup_{x\in\partial B_{1/2} }\mathbb{P}_x(\tau_{\partial B_1}<\tau ):=a < 1 $$
Además, para todos los $k\in \mathbb{N}$ tenemos,
$$ \sup_{x\in\partial B_{2^{-k}} }\mathbb{P}_x(\tau_{\partial B_1}<\tau )\leqslant a^k $$
a) Para la primera afirmación, el libro dice que es "fácil"(sic) de demostrar con la siguiente propiedad: si $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ continua con $f(0)=0$ , entonces para una BM estándar en $\mathbb{R}$ y $\varepsilon >0$ tenemos $$ \mathbb{P}(\sup_{[0,1]}|B(t)-f(t)|<\varepsilon) > 0 $$
No tengo ni idea de cómo aplicar esta propiedad a este problema, lo único que se me ocurre es que $f$ podría representar algo relacionado con la distancia al cono (debe haber alguna proyección en el medio, ya que la propiedad es sobre un BM en $\mathbb{R}$ ).
b) la segunda afirmación es claramente cierta por el uso de la propiedad Mkv fuerte en $\tau_{k-1}$ (donde $\tau_j$ es el tiempo de golpeo de $\partial B_{2^{-k+j}}$ La inducción y el uso del primer enunciado, pero no consigo escribirlo con rigor. Agradecería mucho que alguien me ayudara en esta tarea.