Ejercicio sobre el tiempo de golpeo de un movimiento browniano

Question

Estoy siguiendo el capítulo 3 de "Brownian Motion", de Peres y Mörters, sobre El Problema de Dirichlet(DP). Como es sabido, para obtener la existencia y unicidad de una solución para el DP es necesario pedir cierta suavidad a la frontera de la región $\ U$ donde se plantea el DP. El siguiente lema permite demostrar que bajo la "condición de Zaremba" existe dicha solución única, pero tengo problemas con las dos partes de la demostración de dicho lema

Dejemos que $(B(t))$ sea un movimiento browniano (BM) en $\mathbb{R}^d$ y denotamos un cono centrado en $z\in\mathbb{R}^d$ con ángulo de apertura $\alpha$ como $C_{\alpha}(z)$ . Si está centrado en el origen, observemos $C_{\alpha}$ y su tiempo de golpeo como $\tau$ .

El lema 3.11 afirma que existe una probabilidad positiva uniforme para un BM de alcanzar $C_{\alpha}$ antes de alcanzar el límite de la bola unitaria (también centrada en el origen), partiendo de cualquier $x\in\partial B_{1/2}\ $ es decir

$$ \sup_{x\in\partial B_{1/2} }\mathbb{P}_x(\tau_{\partial B_1}<\tau ):=a < 1 $$

Además, para todos los $k\in \mathbb{N}$ tenemos,

$$ \sup_{x\in\partial B_{2^{-k}} }\mathbb{P}_x(\tau_{\partial B_1}<\tau )\leqslant a^k $$

a) Para la primera afirmación, el libro dice que es "fácil"(sic) de demostrar con la siguiente propiedad: si $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ continua con $f(0)=0$ , entonces para una BM estándar en $\mathbb{R}$ y $\varepsilon >0$ tenemos $$ \mathbb{P}(\sup_{[0,1]}|B(t)-f(t)|<\varepsilon) > 0 $$

No tengo ni idea de cómo aplicar esta propiedad a este problema, lo único que se me ocurre es que $f$ podría representar algo relacionado con la distancia al cono (debe haber alguna proyección en el medio, ya que la propiedad es sobre un BM en $\mathbb{R}$ ).

b) la segunda afirmación es claramente cierta por el uso de la propiedad Mkv fuerte en $\tau_{k-1}$ (donde $\tau_j$ es el tiempo de golpeo de $\partial B_{2^{-k+j}}$ La inducción y el uso del primer enunciado, pero no consigo escribirlo con rigor. Agradecería mucho que alguien me ayudara en esta tarea.

Answer 1

Esta es una forma de probar su primera afirmación.

Dejemos que $z$ sea el centro de la bola. Elige un $\epsilon < 1/4$ y un conjunto finito de puntos $\{x_1, \dots, x_n\} \in B_{3/4}(z)$ tal que para cada cono $C$ con ángulo $\alpha$ y el vértice en $z$ Hay un poco de $x_i$ tal que $B_\epsilon(x_i) \subset C$ . (Esto es posible por un argumento de compactación que dejo como ejercicio.) Ahora fija un $x_0 \in \partial B_{1/2}$ y que $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^n$ sea una curva continua que comienza en $x_0$ , permaneciendo en el interior $B_{3/4}$ y que pasa por todos los puntos $x_1, \dots, x_n$ . Sea $1-a$ sea la probabilidad de que un movimiento browniano iniciado en $x_0$ se mantiene dentro de $\epsilon$ de $\gamma$ hasta el tiempo 1, que por la propiedad citada es distinto de cero.

Ahora fija un cono particular $C$ . Dado cualquier $x \in \partial B_{1/2}$ , dejemos que $T$ sea una rotación de $\mathbb{R}^n$ sobre $z$ que mapea $x_0$ a $x$ . Obsérvese que si $$\mathcal{H}_{\alpha}:=\{\text{cones with angle } \alpha \text{ and vertex at }z\} $$ entonces $T\mathcal{H}_{\alpha} =\mathcal{H}_{\alpha}$ y $\{Tx_1,...,Tx_n \}$ conserva la propiedad de $\{x_1,...,x_n \}$ . Además, la probabilidad de que un movimiento browniano comience en $x$ se mantiene dentro de $\epsilon$ de $T\gamma$ es $1-a$ por la invariancia rotacional del movimiento browniano. En consecuencia, en este evento, el movimiento browniano pasa a través de cada cono de ángulo $\alpha$ con vértice en $z$ antes del tiempo 1, por lo que en particular pasa por $C$ . Y permanece dentro de la bola $B_{3/4 + \epsilon}$ antes del tiempo 1, por lo que necesariamente cumple $C$ antes de $\partial B_1$ . Por lo tanto, en este evento tenemos $\tau \le \tau_{\partial B_1}$ Así que $P_x(\tau_{\partial B_1} < \tau) \le a$ . Y $x$ era arbitraria. Por lo tanto, la primera afirmación queda demostrada.