Equivalencia 2-natural

Question

Dejemos que $ F, G: X\to Y $ sean 2 funtores. ¿Es cierta la siguiente afirmación?

" Una transformación 2-natural $ \alpha : F\to G $ es una equivalencia 2-natural si y sólo si cada componente $ \alpha _ K $ es una equivalencia de $Y$ . "

Estoy casi seguro de que esto es cierto si $Y=CAT$ . Pero no pude ver si es cierto para un general $Y$ .

Estoy buscando una respuesta cuando $ \alpha $ es también una transformación pseudonatural.

Muchas gracias

Answer 1

Me di cuenta de que no es cierto aunque $Y = CAT$ . El contraejemplo surgió de una observación de las extensiones de Kan.

Dejemos que $\nabla 2 $ sea la localización de la categoría $ 2 $ (con respecto a todos los morfismos). Y dejemos que $ \ast $ sea la categoría con un solo objeto y un solo morfismo (la identidad). Si S es la categoría 2 formada por un par de flechas paralelas ( $\alpha : a\to b $ , $ \beta : a\to b $ ); considere los siguientes 2-functores

$X: S\to Cat $ y $Y: S\to Cat $

tal que $ X(a)= Y(a)= Y(b) = \ast $ , $ X(b) = \nabla 2 $ , $Y(\alpha ) = Y (\beta ) $ y $ X(\alpha ) \not = X( \beta ) $ .

Hay un $2$ -transformación natural $ \varepsilon : X\to Y $ tal que cada componente de $ \varepsilon $ es una equivalencia. Sin embargo, no hay $2$ -transformación natural $Y\to X $ . En particular, $ \varepsilon $ no es una equivalencia 2-natural.