Matriz cuadrada simétrica de definición positiva

Question

Una matriz cuadrada simétrica de definición positiva $n$ se define como

si $\forall x\in { \mathbb{R} }^{ n }$ , $x\neq 0$ , $x^T Ax>0$ , de forma equivalente es $\left< x,Ax \right> >0$ .

No encuentro la forma de demostrar esta equivalencia, ni tampoco una forma general de demostrar la igualdad $\left< Px,Px \right> =\left< x, P^t Px \right> $ , $P$ orden de la matriz $n$ .

Por supuesto, para casos particulares como $n = 2$ La demostración de la segunda pregunta es sencilla.

Answer 1

Prueba de equivalencia: Obsérvese que para cualquier vector $x,y \in \Bbb R^n$ tenemos $\langle x,y \rangle = x^Ty$ . De ello se desprende que $$ \langle x,Ax \rangle = x^T(Ax) = x^TAx $$ Prueba de igualdad: Tenga en cuenta que $$ \langle Px,Px \rangle = (Px)^T(Px) = (x^TP^T)(Px) = x^T(P^TPx) = \langle x,P^TPx \rangle $$