Calcular $\lim_{n\to \infty} \int_0^1 {nx\sin(x)\over n^3x^2 +1}{\rm d}x$

Question

Quiero calcular $\lim_{n\to \infty} \int_{[0,1]} {nx\sin(x)\over n^3x^2 +1}{\rm d}x$

Empecé con $f_n={nx\sin(x)\over n^3x^2 +1}\lt {nx\sin(x)\over n^3x^2 }={\sin(x)\over n^2x}$

¿Qué puedo hacer ahora?

Answer 1

Definir $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ con $f_n(x) = \frac{nx\sin(x)}{n^3x^2 +1}$ .

Tenemos $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$ para todos $x \in [0,1]$ porque

$$|f_n(x)| = \frac{nx\left|\sin(x)\right|}{n^3x^2 +1} \le \frac{n}{n^3x^2+1} = \frac1{n^2x^2+\frac1n} \xrightarrow{n\to\infty} 0$$

Además, tenemos

$$|f_n(x)| = \frac{nx\left|\sin(x)\right|}{n^3x^2 +1} \le \frac{nx^2}{n^3x^2+1} \le \frac1{n^2}\cdot \frac{nx^2}{nx^2+1} \le \frac1{n^2} \le 1$$ con $$\int_{[0,1]} 1\,d\lambda(x) = 1< +\infty$$

por lo que la secuencia $(f_n)_n$ está dominada por una función integrable.

El teorema de convergencia dominado por Lebesgue da $$\lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]} f_n\,d\lambda = \int_{[0,1]}\Big(\lim_{n\to\infty} f_n\Big) \,d\lambda = \int_{[0,1]} 0\,d\lambda = 0$$

Answer 2

Sugerencia :Intenta utilizar el Teorema de la convergencia dominada.

Entonces cambia la integral y el Límite y utiliza el hecho de que

$$lim_{n \rightarrow\infty} \frac{nx\ sin x}{n^3x^2+1}=0$$

Por lo tanto, $$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\frac{nx\ sin x}{n^3x^2+1}=\int_{0}^{1}lim_{n \rightarrow \infty}\frac{nx\ sin x}{n^3x^2+1}=0$$