Dejemos que $\varphi:G\to H$ y $\psi:H\to K$ sean homomorfismos. Demuestre que $\ker(\varphi)\unlhd\ker(\psi\circ\varphi).$

Question

Dejemos que $: G H$ y $: H K$ sean dos homomorfismos.

(a) Demuestre que $ : G K$ es un homomorfismo.

(b) Demuestre que $ker()$ es un subgrupo normal de $ker( )$ .

SOLUCIÓN

Para cualquier $h ker()$ y $g ker( )$ el conjugado $ghg^{1}$ está en ker():

$(ghg^{1}) = (g)(h)(g^{1}) = (g)(g^{1}) = e$ , $e$ siendo el elemento de identidad.

He conseguido hacer la pregunta (a) pero tengo problemas con la pregunta (b). La solución en mi libro de texto se da a continuación, pero estoy luchando para entenderlo. He pensado que para g y $ghg^{-1}$ para ser conjugado $g$ y $h$ ambos tenían que estar en el mismo grupo.

Answer 1

$\operatorname{ker} \varphi$ es un subgrupo normal de $G$ y $\operatorname{ker} \varphi \subseteq \operatorname{ker}(\psi \circ \varphi)$ Así que $\operatorname{ker} \varphi$ también es normal en $\operatorname{ker}(\psi \circ \varphi)$ por el siguiente lema:

Dejemos que $N \unlhd G$ y $N \subseteq K$ donde $K \leq G$ . Entonces $N \unlhd K$ .