Si $A + \Delta A$ tiene un valor propio $\lambda$ , demuestran que $A$ tiene un valor propio $\lambda + \Delta \lambda$ .

Question

$A$ es simétrica y se puede diagonalizar como $A = V\Lambda V^{-1}$ , donde $\Lambda$ es una matriz diagonal con valores propios de $A$ y $V$ es una matriz ortogonal con vectores columna iguales a los vectores propios de $A$ .

Si $A + \Delta A$ tiene un valor propio $\lambda$ , demuestran que $A$ tiene un valor propio $\lambda + \Delta \lambda$ con

$$\Delta \lambda = 0 \qquad\text{or}\qquad |\Delta \lambda| = ||(\lambda I - \Lambda)^{-1}||_2^{-1}.$$

Mi intento:

$$A u = (\lambda + \Delta \lambda)u$$ $$A u = \lambda u + \Delta \lambda u$$ $$- \Delta \lambda u = (\lambda I - A)u$$ $$-(\lambda I - A)^{-1} \Delta \lambda u = u$$ $$||u||_2 = ||(\lambda I - A)^{-1} \Delta \lambda u||_2$$

¿A dónde voy a partir de aquí?

Answer 1

La clave de este problema, creo, es darse cuenta de que $A + \Delta A$ no nos dice nada sobre $A$ .

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Sustituyendo $A$ con $(A - \lambda I)$ Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $\lambda = 0$ .

Se nos da que $A + \Delta A$ tiene un valor propio $0$ y queremos demostrar que o bien se debe sostener que $A$ tiene un valor propio $0$ ou $A$ tiene un valor propio $\Delta \lambda$ con $|\Delta \lambda| = \|\Lambda^{-1}\|^{-1}$ . De forma equivalente, si $A$ no tiene $0$ como un valor propio (es decir $A$ es invertible), entonces $A$ tiene un valor propio $\Delta \lambda$ con $|\Delta \lambda| = \|\Lambda^{-1}\|^{-1}$ .

Esto es fácil de ver: supongamos que $A$ es invertible. Escribimos $$ \Lambda = \pmatrix{\lambda_1 \\ & \ddots \\ && \lambda_n}, $$ donde cada $\lambda_i$ es un valor propio de $A$ . Observamos que $$ \Lambda^{-1} = \pmatrix{\lambda_1^{-1}\\ & \ddots \\ && \lambda_n^{-1}}, $$ de lo que se deduce que $$ \|\Lambda^{-1}\|_2 = \max_{j=1,\dots,n} |\lambda_j|^{-1} = (\min_{j=1,\dots,n} |\lambda_j|)^{-1}. $$ Así, tenemos $\|\Lambda^{-1}\|_2^{-1} = \min_{j=1,\dots,n}|\lambda_j|$ . Por lo tanto, es cierto que $A$ tiene un valor propio $\Delta \lambda = \lambda_j$ para lo cual $|\lambda_j| = \|\Lambda^{-1}\|^{-1}$ que es lo que queríamos mostrar.

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Un enfoque menos "dependiente de la matriz": de nuevo, suponga WLOG que $\lambda = 0$ y supongamos que $A$ es invertible. Observamos que para $z \in \Bbb C$ , $$ A - zI \text{ is invertible }\iff I - z A^{-1} \text{ is invertible }. $$ Para $z$ con $|z|$ suficientemente pequeño, vemos que $I - zA^{-1}$ debe ser invertible porque la inversa puede expresarse a través de la serie convergente de Neumann $$ (I - zA^{-1}) = \sum_{k=0}^\infty A^{-k} z^k. $$ El radio de convergencia de esta serie es igual a $\rho(A^{-1})^{-1}$ que es igual a $\|\Lambda^{-1}\|_2^{-1}$ (ya que $A$ es real y simétrico, esto es a su vez igual a $\|A^{-1}\|_2^{-1}$ ). Por el analiticidad de las funciones holomorfas existe un $z \in \Bbb C$ con $|z| = \|\Lambda^{-1}\|^{-1}$ en la que la función $(I - zA^{-1})^{-1} = A^{-1}(A - zI)^{-1}$ tiene una singularidad, es decir, que $A - zI$ no es invertible. En otras palabras, tal $z$ debe ser un valor propio de $A$ .