Dejemos que $x,y,z\in\mathbb{R}$ .Let $xy+yz+xz=1$ .
Pruébalo: $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\leq \frac{3}{2}$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
mookid
Puntos
23569
Una pista: $$x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)$$ Además, necesitará la desigualdad $$ \sqrt{AB}\le \frac12(A+B) $$
Solución:
$$ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+1}} \\= \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} +\frac{z}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \\ \le \frac12\left[ \frac x{x+y} + \frac x{x+z} + \frac y{y+z} + \frac y{x+y} + \frac z{z+y} + \frac z{z+x} \right]=3/2 $$
Dejemos que $a,b,c\in(0,\pi)$ sea tal que $x=\cot a$ , $y=\cot b$ , $z=\cot c$ .
Utilizando la fórmula de adición de la cotangente, se puede demostrar que $$ \cot(a+b+c) = \frac{\cot a\cot b\cot c - \cot a - \cot b - \cot c} {\cot a\cot b + \cot b\cot c + \cot c\cot a - 1} \tag{$ \N - El brindis $} $$ Por hipótesis, el denominador del lado derecho es 0, por lo que (véase más adelante) el lado izquierdo es $\infty$ ; ya que $a,b,c\in (0,\pi)$ Esto implica $a+b+c\in\{\pi,2\pi\}$ .
Caso $a+b+c=\pi$ : Entonces a lo sumo uno de $a,b,c$ es mayor que $\frac\pi2$ ; wlog, $a,b\in(0,\frac\pi2]$ . Como el coseno es cóncavo en ese intervalo, tenemos \begin{align*} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{y}{\sqrt{y^2+1}} + \frac{z}{\sqrt{z^2+1}} &= \cos a + \cos b + \cos c \\ &\le 2\cos(\tfrac{a+b}{2}) + \cos c \\ &= 2\cos(\tfrac{a+b}{2}) - \cos(a+b) \\ &= 2\cos(\tfrac{a+b}{2}) - 2\cos^2(\tfrac{a+b}{2}) + 1 \\ &= \tfrac32 - 2\big(\cos(\tfrac{a+b}{2}) - \tfrac12\big)^2 \\ &\le \tfrac32 \end{align*} con igualdad si $a=b=\frac\pi3$ (de donde $c=\frac\pi3$ también), es decir, $x=y=z=\frac1{\sqrt3}$ .
Caso $a+b+c=2\pi$ : Entonces a lo sumo uno de $a,b,c$ es menor que $\frac\pi2$ ; wlog, $a,b\in[\frac\pi2,\pi)$ . Como el coseno es no positivo en ese intervalo, tenemos $$ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{y}{\sqrt{y^2+1}} + \frac{z}{\sqrt{z^2+1}} = \cos a + \cos b + \cos c \le \cos c \le 1 < \tfrac32 $$
Ahora, un detalle molesto sobre ( $\ast$ ): He observado que el denominador del lado derecho es cero, y he deducido que el lado derecho, y por tanto el lado izquierdo, es $\infty$ . ¿Pero qué pasa si el numerador del lado derecho también es cero? Bien, supongamos por contradicción que tanto el numerador como el denominador son cero. Entonces $xyz=x+y+z$ y $xy+yz+zx=1$ y así \begin{align*} (t-x)(t-y)(t-z) &= t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz \\ &= t^3 - xyzt^2 + t - xyz \\ &= (t^2+1)(t-xyz) \end{align*} lo cual es imposible porque el primer polinomio tiene tres raíces reales (contando la multiplicidad) pero el último sólo tiene una.
